3.5. ЛАБОРАТОРНА РОБОТА: ВИЗНАЧЕННЯ НАПРУЖЕНЬ І ДЕФОРМАЦІЙ ПРИ КОСОМУ ЗГИНІ

Мета роботи:  визначити дослідним шляхом величину напружень у точці контрольного перерізу та величину й напрямок переміщення вільного кінця балки при косому згині і порівняти експериментальні дані з теоретичними.

Короткі теоретичні відомості

Часто площина дії зовнішніх сил і моментів не збігається ні з однією з головних осей інерції поперечного перерізу балки, у цьому випадку напрямок переміщення не співпадає з площиною прикладання зовнішніх сил. Такий вид деформації називається косим згином (рис. 3.18). Він відноситься до складного виду: в поперечних перерізах балки виникають поперечні сили і згинальні моменти відносно головних осей інерції Х і Υ поперечного перерізу балки. Тому косий згин можна розглядати як сполучення двох плоских згинів.

Головними площинами балки називаються площини, що проходять через поздовжню вісь балки і головні центральні осі інерції поперечних перерізів.

рис 3.18.PNG

Розглянемо навантаження жорстко закріпленого стержня прямокутного поперечного перерізу (рис. 3.19, а),  у якого ширина прямокутника – b, висота – h,  довжина стержня – ℓ. Осі симетрії х і Y є головними центральними осями інерції поперечних перерізів.

На торці стержня під кутом α діє сила F, прикладена в центрі ваги цього  перерізу. Силу F можна розкласти на дві складові: Fх і Fу, лінії дії яких паралельні відповідно до осей х і Y. При цьому:

Fx Fy.PNG

У результаті ми приходимо до схеми навантаження стержня, зображеної на рис. 3.19, б.
рис 3.19.PNG

На підставі принципу незалежності дії сил при пружному деформуванні наведену схему навантаження можна представити як суму двох прямих згинів у головних площинах. Тому в будь-якому поперечному перерізі балки згинальний момент Mзг, розкладається на складові Mx і My, що згинають балку відносно осей х і Y. Їх величини визначаються так:

Mx My.PNG

де  M – згинальний момент у площині дії сили F; Н·м;

F – навантаження на вільному кінці балки, Н;

ℓ – відстань від точки прикладення сили F до заданої точки (контрольний переріз).

Напруження. У будь-якій точці перерізу бруса з координатами х і у виникають нормальні напруження від кожного зі складових згинального моментуMxx.PNG  і My.PNG (рис. 3.20). Використавши спосіб додавання сил, нормальне напруження в цьому перерізі  знаходимо за формулою:

(3.25).PNG

де  x, y – координати точки де визначаються напруження, мм;

Jx, Jy – відповідно осьові моменти інерції відносно осей X та Y.

α – кут нахилу площини дії сил, градуси.

Для прямокутного перерізу (рис. 3.19) із заданими розмірами b і h визначаються за формулами:

(3.26).PNG

 

Перетворимо формулу (3.25), прийнявши до уваги, що відношення:

Jx on y.PNG

Це є осьові моменти опору перерізу. Для прямокутного перерізу (рис. 3.19) із заданими розмірами b і h визначаються за формулами:

(3.27).PNG

Отримаємо:

(3.28(1).PNG

Положення нейтральної лінії знайдемо з умови, що в заданій точці напруження дорівнює нулю, тоді рівняння нейтральної лінії матиме вигляд:

(3.29).PNG

де y0 , x0 – координати довільної точки В, що належить нейтральній осі, мм.

З отриманих рівнянь (3.29) та (3.30) витікає, що положення нейтральної лінії визначається наступним чином відповідно:

(3.31).PNG

де β – кут нахилу нейтральної лінії до осі Х поперечного перерізу, градуси.

Отже положення нейтральної лінії залежить не від величини сили, а лише від кута нахилу площини дії сили до осі та від форми перерізу.

Із формули (3.28) витікає, що при косому згині в загальному випадку, коли Jx Jy.PNG, нейтральна вісь не перпендикулярна силовій площині.

Теоретичне значення кута β визначається за формулою:

(3.32).PNG

Із формули (3.29) видно: якщо jx=jy.PNGто , tgB.PNGтобто нульова лінія і лінія дії сили F взаємно перпендикулярні.

рис 3.20.PNG

Переміщення. Переміщення (прогин) будь-якої точки поперечного перерізу при косому згині f є векторною сумою переміщень (прогинів) від згинів у горизонтальному fx і вертикальному fy напрямках (рис. 3.21):

(3.33).PNG

У кожному конкретному випадку прогини у вертикальному і горизонтальному напрямках розраховуються за стандартними методиками, як для прямого згину (наприклад, способом Верещагіна).

У цій лабораторній роботі досліджується консольна балка, жорстко закріплена одним кінцем і завантажена на вільному кінці зосередженою силою. Для неї найбільші прогини будуть на кінці консолі. Вони визначаються за формулами:

(3.34).PNG

де F – навантаження на балку, Н;

L – довжина балки, між жорстким закріпленням і ділянкою прикладення сили, L = 700мм;

Е – модуль пружності матеріалу балки, Е = 2×105…2,15×105  Н/мм2;

α – кут між напрямком площини дії сил (вертикальною площиною) і площиною, сполученою з напрямком головної осі У, задається викладачем.

Виходячи з рівнянь (3.31) і  (3.32) при косому згині напрямок повного переміщення (рис. 3.21) визначається як

(3.35).PNG

Тобто при косому згині у загальному випадку, коли Jх ≠ Jy, повні переміщення не лежать в силовій площині (як кажуть, балку «веде»).

рис 3.21.PNG

У той же час, оскільки при косому згині співвідношення

My on Mz.PNG

по довжині всієї балки є постійним, пружна лінія розташовується в одній площині – площині згину.

Отже, прогин балки відбувається не в площині дії зовнішніх навантажень, а в площині, перпендикулярній до нейтральної лінії.

Експериментальна установка.  На рисунку 3.22, а показано  обладнання для проведення лабораторної роботи. Воно складається з опорного стояка 2, що закріплений в Т-подібному пазу силової плити 1 болтовими з’єднаннями, на якому кріпиться дослідна консольна балка прямокутного перерізу 3 (рис. 3.22, б). Балка повернута в стояку 2 на заданий кут α і зафіксована в такому положенні. На кінці балки є підшипниковий вузол 4, через який за допомогою підвісу 5 вона навантажується вантажами 6.

У перерізі балки поблизу закріплення, на бічних гранях наклеєні чотири тензодатчика 10, які з допомогою блоку вимірювання деформацій ВД реєструють деформації, що виникають при навантаженні балки. Тензодатчики № 1-2 і 3-4 наклеєні на протилежних гранях балки (рис. 3.20).

На стояку 7 встановлені два індикатори годинникового типу ИЧ-10, один з яких 8 вимірює переміщення кінця балки у вертикальному напрямку, а другий  9 – в горизонтальному.

Оснащення робочого місця

v лабораторна установка – балка прямокутного перерізу із закріпленими тензодатчикам;

v два індикатори годинникового типу ИЧ-10;

v цифровий тензорезисторний вимірювач деформацій ИДЦ-1;

v методичні вказівки до виконання лабораторної роботи;

v  калькулятор, олівець, лінійка;

v журнал лабораторних робіт.

рис 3.32(а).PNG

рис 3.22.PNG

Порядок виконання роботи

Для проведення експерименту використовують стальну балку прямокутного перерізу довжиною L = 700мм (рис. 3.23,а). Балка має наступні дані:

-      ширина перерізу b = 12 мм;

-      висота перерізу h = 24 мм;

-      матеріал балки - сталь 45  ГОСТ 1050-88;

-      модуль пружності матеріалу Е = 2·105 МПа.

Лабораторна робота проводиться у такій послідовності:

1. Встановити задане значення положення силової площини по відношенню до вертикальної осі (кут α) шляхом повороту балки в опорному стояку і зафіксувати її в такому положенні стопорним пристроєм (рис. 3.23,б).

рис 3.23.PNG

2. На балку встановити індикатори годинникового типу у напрямках осей х і Y. Шкали обох індикаторів переміщень вивести на нуль.

3. Підключити тензодатчики у заданому перерізі балки, які знаходяться в зоні косого згину та увімкнути вимірювач деформацій.

4. При відсутності зовнішнього навантаження зареєструвати показники тензорезисторів № 1, 2, 3, 4, які розглядаються в подальшому як вихідні – «умовний нуль». Результати занести в журнал спостережень (табл. 3.5).

5. Провести послідовне навантаження балки вантажами 10, 20, 30Н. Зняти відповідні показники з вимірювача деформацій А1 і А2 та індикаторів переміщень Dy та Dx. Визначити повний прогин fе балки:

fe=.PNG

Результати занести в журнал спостережень (табл. 3.5).

6. Визначити експериментально напруження в точках розташування тензорезисторів № 1-4, як:

sigma e=.PNG

де  a – ціна одиниці дискретності приладу (ВД), a = 2,4×10-6;

DА1 і DА2 – прирощення деформацій у місцях встановлення тензодатчиків для збільшення навантаження DF=10Н, як різниця першого і наступних показань приладу (ВД);

E = 2·105 МПа – модуль поздовжньої пружності матеріалу дослідної балки.

Таблиця 3.5 – Журнал спостережень і обробки результатів експерименту.

Навантаження, Н

Показання

індикаторів годинного 
типу ´ 0,01; мм

Повний прогин, мм

Показання вимірювача деформацій, зняті з
тензодатчиків

Внутрішні  згинальні моменти, (розрахун-кові), Н×мм

Теоретичні та експериментальні значення напружень, МПа

F

уздовж осі  Y ,

Dy

уздовж осі X,

Dx

Теоретичне fт

 експеримен-тальне f е

А1

DА1

А2

DА2

Му

Мz

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

30

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. Визначити повний прогин та напруження в контрольному перерізі теоретичним шляхом та записати у журнал спостережень (табл. 3.5).

8. Порівняти теоретичні та експериментальні значення повного прогину та напруження в контрольному перерізі, визначити розбіжність між отриманими значеннями. Результати порівняння занести в таблицю 3.6.

Таблиця 3.6 – Порівняння теоретичних і експериментальних величин переміщень та напружень при найбільшому навантаженні.

Величина

Теоретичні

значення

Експериментальні значення

Розбіжність, %

повний прогин

fт =                   мм

fе =                   мм

 

напруження в

контрольному

перерізі

sigma t.PNG=             Н/мм2

sigma e.PNG=              Н/мм2

 

 

9. Зробити висновки та відповісти на контрольні запитання.

10.  Захистити лабораторну роботу у викладача.

Тестові запитання для самоконтролю

 

1.  Який опір буде складним?

 якщо на брус діють 2 сили, що його згинають і розтягують;

 якщо на брус діють 2 сили, що його розтягують;

 якщо на брус діють 2 моменти, що його скручують;

 якщо на брус діють 2 сили, що його розтягують і стискають.

2.  В якому випадку буде косий згин?

pit 2(3.5).PNG

 

3.  В якому випадку буде косий згин?

pit 3.PNG

4.  В якому випадку буде косий згин?

pit 4 (3.5).PNG

5.  Як треба прикласти силу F на вільному кінці балки, щоб отримати косий згин?

pit 5.PNG 

6.  Де розташовано небезпечний переріз при косому згині балки?

pit 6.PNG

7.  Як треба прикласти силу F на вільному кінці балки, щоб був косий згин?

pit 7.PNG

 

8.  Де проходить нейтральна лінія у перерізі при косому згині балки?

pit 8(3.5).PNG

9.  Де проходить нейтральна лінія у перерізі при косому згині балки даного перерізу?

pit 9(3.5).PNG

 

10. Де проходить нейтральна лінія у круглому перерізі балки?

pit 10(3.5).PNG

 

11. Прогин в якому напрямі  х або у, буде більшим?

однаковий прогин в обох напрямках;

pit 11(3.5).PNG

12. Як розрахувати повний прогин ƒ балки при косому згині?

pit 12(3.5).PNG 

13. В якому перерізі найбільший згинальний момент при косому згині?

pit 13(3.5).PNG 

14. Який осьовий момент опору перерізу балки більший?

pit 14(3.5).PNG

 

15. Відносно до якої осі осьовий момент опору круглого перерізу балки буде більший для круглого перерізу?

pit 15(3.5).PNG

 

16. В якій точці перерізу балки при косому згині найбільші розтягуючі напруження?

pit 16(3.5).PNG

 

17. В якій точці перерізу балки при косому згині найбільші стискаючі? напруження?

pit 17(3.5).PNG

18. За якими напруженнями проводять розрахунок на міцність балки при її косому згині?

 за сумарними нормальними напруженням;

 за дотичними напруженням;

 за сумою нормальних і дотичних напружень;

 за критичними напруженням.

19. Яка деформація називається косим згином?

 коли площина, в якій згинається балка, не співпадає с площиною дії сили, що згинає;

 коли сила, що згинає балку, прикладена уздовж вертикальної площини;

 коли площина дії сили проходить уздовж перерізу балки;

 коли на балку діє сила, що розтягує.

20. На якій лінії перерізу сумарні нормальні напруження при косому згині дорівнюють нулю?

pit 20 (3.5).PNG