3.1. ЛАБОРАТОРНА РОБОТА: ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНА ПЕРЕВІРКА ЗАКОНУ РОЗПОДІЛУ НОРМАЛЬНИХ НАПРУЖЕНЬ ПО ВИСОТІ ПЕРЕРІЗУ БАЛКИ

МЕТА РОБОТИ: визначення нормальних напружень по висоті перерізу двотаврової балки і порівняння величин, отриманих  експериментально, з відповідними значеннями, знайденими теоретично.

Короткі теоретичні відомості

Згином називається такий вид навантаження, при якому в поперечних перерізах стержня виникають згинальні моменти. У разі, якщо згинальний момент є єдиним силовим фактором у перерізі, то згин називається чистим. Якщо в поперечних перерізах бруса поряд із згинальним моментом також виникають поперечні сили (це спостерігається в більшості випадків), такий згин називають поперечним. Якщо площина дії згинального моменту проходить через одну з головних центральних осей поперечного перерізу, то згин називають прямим. Стержень, що працює на згин, називають балкою.

Як показують досліди, при вказаній дії сил вісь балки викривляється і вона згинається. Балки є найбільш поширеними елементами споруд і машин, що приймають тиск від інших елементів конструкцій і передають їх тим частинам, які підтримують балку. Таким чином на балку діють прикладені сили і реакції опор. Опори бувають трьох типів:

Ø шарнірно-нерухомі;

Ø шарнірно-рухомі;

Ø жорстко-закріплені.

Для визначення невідомих реакцій використовують рівняння статики, які відображають умову, що балка в цілому при дії всіх сил і реакцій знаходиться в рівновазі. Так як ці сили лежать в одній площині, то для них можна скласти три рівняння рівноваги.

При згині в перерізах балки виникають внутрішні силові фактори: поперечні сили Qy  і згинальні моменти Мх. Сила Qy  зсуває переріз відносно суміжного уздовж вертикальної осі У, а згинальний момент Мх повертає переріз відносно суміжного навколо осі Х, що призводить до викривлення осі балки, тобто згину.

Розглянемо призматичний брус з вертикальною площиною симетрії. Брус згинається парами сил М, розташованими по його торцях (рис. 3.1).

У будь-якому поперечному перерізі такого бруса діятиме тільки згинальний момент, що дорівнює М (М = const), поперечна сила дорівнює нулю Q = 0. Такий згин є чистим згином  (рис. 3.1) .

рис 3.1.PNG

Після згину виявляється:

Ø  первісно паралельні прямі n–n, m–m і після деформації бруса залишаються прямими, але повертаються одна відносно одної на деякий кут Dj;

Ø  у верхніх частинах бруса відстань між вертикальними лініями сітки збільшується, в той час як у нижніх частинах вона зменшується;

Ø  ширина поперечного перерізу бруса у верхній його частині дещо зменшується, а в нижній – збільшується.

Аналіз поведінки матеріалу при чистому згині дав змогу сформулювати наступні гіпотези, які покладені в основу елементарної теорії чистого згину:

1.  Матеріал балки підкорюється закону Гука;

2.  При чистому згині плоскі перерізи бруса не викривляються, залишаються плоскими і при деформації обертаються один відносно одного (гіпотеза плоских перерізів).

3.  Поздовжні волокна бруса зазнають простого розтягу або стиску, не спричиняючи взаємного бокового тиску.

4.  Нормальні напруження, змінюючись по висоті перерізу, залишаються однаковими по ширині.

Деформація згину складається з деформації розтягу і стиску, які відокремлюються нейтральним шаром. Лінія перетину нейтрального шару з площиною поперечного перерізу називається нейтральною віссю перерізу.

Визначимо закон розподілу нормальних напружень, що виникають при чистому згині бруса, по висоті перерізу балки. Для цього розглянемо деформацію ділянки бруса, вирізаної двома перерізами m-m і n-n, який показано на рисунку 3.1. Відстань між вказаними перерізами елементарно мала і складає dx.

Після деформації ця ділянка має такий вигляд, як показано на рисунку 3.2.

рис 3.2.PNG

Нейтральний шар зображений лінією О1О2 = dx.

 

Він  розділяє зону розтягу бруса від зони стиску, волокна нейтрального шару не зазнають ніякої деформації. Лінія перетину нейтрального шару з площиною поперечного перерізу бруса є нейтральною. 

Позначимо радіус кривизни нейтрального шару через r, а кут взаємного повороту перерізів через dj.

Розглянемо деформацію довільного волокна АВ, розташованого на відстані у від нейтрального шару.

До деформації довжина цього волокна:

(3.1).PNG

Після деформації волокно АВ подовжилось на величину ВВ1: 

(3.2).PNG

Абсолютне подовження волокна АВ:   

(3.3).PNG

Відносне подовження цього ж волокна:

(3.4).PNG 

де ρ – радіус кривизни, ρ = const.

Із виразу (3.4) видно, що відносна деформація  пропорційна у.

Так як волокна бруса зазнають тільки простий розтяг або стиск, то для визначення пружних сил можна застосувати закон Гука при розтягу-стиску:

(3.5).PNG

В цьому виразі r – невідома ще величина. Уявно розсічемо брус перерізом, перпендикулярно до його осі і розглянемо рівновагу лівої частини.

Дію відкинутої правої частини на ліву замінюємо внутрішніми силами (рис. 3.3). На елементарній площадці dА з координатами х та у діє нормальне зусилля s ·dА.

Складемо рівняння рівноваги для частини бруса, що залишилася:

3.6-3.8.PNG

рис 3.3.PNG

Підставимо у рівняння (3.6)  вираз (3.5), отримаємо:

3.6+3.5.PNG

де де.PNG

– статичний момент площі перерізу балки.

Рисунок 7.14

При згині радіус кривизни p dont.PNG  а отже E do.PNG, тоді відношення також не може дорівнювати нулю  E on ro dont.PNG.

 

Звідси виходить, що статичний момент площі дорівнює нулю, тобто tobto.PNG

Статичний момент площі відносно осі дорівнює нулю тільки в тому випадку, якщо ця вісь проходить через центр ваги перерізу. Отже, нейтральна вісь при згині проходить через центр ваги поперечного перерізу.

Із  рівняння суми моментів сил відносно нейтральної лінії (3.7), підставивши вираз (3.5), одержимо:

3.9.PNG

(3.9(.PNG

Виразимо звідси величину кривизни поздовжньої осі бруса при згині 1 on ro.PNG:

(3.10).PNG

де E JZ.PNG – називається жорсткістю бруса при згині.

Отриманий вираз (3.10) являє собою залежність між згинальним моментом і кривизною осі бруса при згині.

 Підставляючи знайдене значення кривизни у формулу (3.5), отримаємо закон розподілу нормальних напружень при чистому згині:

(3.11).PNG

Епюра нормальних напружень по висоті перерізу балки зображена на рисунку 3.4.

рис 3.4.PNG

Найбільші напруження діють у точках найбільш віддалених від нейтральної лінії, для якихy= ymax.PNG.

По нейтральній лінії нормальні напруження дорівнюють нулю, так як   y=0.

 

Осьові моменти інерції прокатних профілів швелера та двотавра наведені в таблицях сортаментів.

Експериментальна установка. Експериментальне дослідження закону розподілу нормальних напружень проводиться в лабораторії кафедри з використанням спеціального лабораторного стенду (рис. 3.5). Для досліджень використовують алюмінієву балку двотаврового перерізу №10.

ис 3.5.PNG

На плиті 1лабораторного стола за допомогою болтових з’єднань кріпляться стояки 4, на які встановлюється двотаврова балка 3.

На бічній поверхні посередині прольоту балки в зоні чистого згину зразка наклеєна група тензодатчиків 2. Іх підключають за допомогою жгутів 8 до вимірювача деформацій ИДЦ-1 (поз.9). Зверху на балку встановлюють коромисло 5 з індикатором часового типу 7. Навантаження зразка проводиться за допомогою гвинта 6.

Для визначення нормальних напружень на бічній поверхні балки наклеєні сім тензодатчиків (від 0 до 6), які фіксують

 

 значення пружних лінійних деформацій Δℓ у відповідній точці. Схема підключення тензодатчиків наведена на рисунку 3.6.

рис 3.6.PNG

Визначення напружень залежно від деформації, що вимірюється, називають тензометруванням.

Електротензометричний метод вимірювання лінійних деформацій заснований на тому, що деформація провідника викликає зміну деяких його електричних параметрів (опору, ємності, індуктивності). Елемент, що сприймає деформацію тіла (тензодатчик) передає зміну електричного параметра на реєструючий пристрій, в якості якого використовують цифровий тензорезисторний вимірювач деформацій идц-1.

Так як тензодатчики фіксують деформації різних знаків (верхній – стиснення, нижній – розтягнення), то тензостанція реєструє відносну деформацію відповідно зі знаком «+» або «-», це необхідно враховувати при обробці результатів експерименту.

Точність вимірювання деформації за допомогою дротяних тензодатчиків дещо менша, ніж при вимірюванні механічним або оптичним тензометром, але практично вона цілком достатня для надійного обчислення напружень.

Балку навантажують за допомогою спеціального гвинтового пристрою (рис. 3.7). Значення навантаження визначають за допомогою індикатора годинникового типу ИЧ-10. Принцип навантаження полягає у тому, що значення навантажень за допомогою тарирувального графіка переводять у значення показників індикатора. Тарирування отримано за допомогою динамометра стиску 3-го розряду.

рис 3.7.PNG

Навантажують балку посередині прольоту, але навантаження рівномірно розподіляється на дві сторони. Таким чином, що відстань між точками прикладення складає 300 мм (рис. 3.8).

За результатами експерименту підраховують напруження для всіх точок, де розташовані тензорезистори за формулою:

сигма и о.PNG

де  α – ціна одиниці дискретності вимірювача деформацій,     

α = 2,4·10-6;

Е – модуль пружності алюмінієвої балки Е =0,7·105 МПа;

Δіср – середні значення деформацій у відповідній точці балки.

рис 3.8.PNG

Оснащення робочого місця

v лабораторна установка – балка з підключеними тензорезис-торами в зоні чистого згину;

v індикатор годинникового типу ИЧ-10;

v цифровий тензорезисторний вимірювач деформацій ИДЦ-1;

v методичні вказівки до виконання лабораторної роботи;

v калькулятор, олівець, лінійка;

v журнал лабораторних робіт.

Порядок проведення досліджень

Для експериментального визначення головних напружень використовують алюмінієву балку двотаврового перерізу №10 довжиною ℓ = 900мм, яка вільно лежить на двох опорах. Балка має наступні дані:

-      ширина перерізу b = 38 мм;

-      висота перерізу h = 100 мм;

-      осьовий момент інерції перерізу І Н..Л .= 516913 мм4;

 

-      матеріал балки – Д16Т ГОСТ 8617-81;

-      модуль пружності матеріалу (алюміній) Е=0,7·105 МПа.

Лабораторна робота проводиться в такій послідовності:

1.  Розглянути схему пристрою для проведення експерименту та ознайомитись з принципом її роботи.

2.  Скласти розрахункову схему балки. При складанні розрахункової схеми бажано застосовувати стандартні умовні позначення елементів балки.

3.  Побудувати епюри поперечних сил Qу та згинальних моментів MX. Визначити значення максимального згинального моменту:

макс.PNG

4.  Визначити, в якому перерізі балки буде спостерігатися явище чистого згину.

5.  Підключити вимірювач деформацій (ВД) до тензорезисторів, які знаходяться в зоні чистого згину. Включити пристрій.

6.  Послідовно навантажити балку за допомогою гвинтового пристрою трьома рівнями навантаження 1кН, 2кН, 3кН, переводячи їх у показники індикатора за допомогою тарирувального графіка.

7.  При кожному рівні навантаження зняти показники з вимірювача деформацій (ВД) для всіх тензорезисторів та записати в журнал спостережень (табл. 3.1).

8.  Підрахувати середню різницю Δiср по кожному тензорезисторові для ступеня навантаження ∆F = 1кН.

9.  Визначити значення напружень для кожної точки, де підключено тензодатчик теоретичним шляхом. Результати занести у таблицю 3.1.

Таблиця 3.1 – Результати експерименту та їх обробка.

№ тензорезисторів

0

1

2

3

4

5

6

Наванта­ження, F

1 кН

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 кН

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

З кН

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Абсолютне значення

показань ВД

∆і1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∆і2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∆іср

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Експери­ментальне

значення напружень

sigma e.PNG

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теоретичне значення

напружень

  sigma t.PNG 

 

 

 

 

 

 

 

Координата

z

-50

-40

-20

0

20

40

50

10.  За даними експерименту підрахувати напруження для всіх точок, де розташовані тензорезистори.

11.  Побудувати епюру напружень за теоретичними значеннями. Зверху нанести епюру напружень за експериментальними значеннями.

12.           Порівняти експериментальні та теоретичні значення напружень:

delta sigma.PNG

13.            Відхилення значень повинні знаходитись у межах [15%], у такому випадку експеримент достовірно підтверджує теоретичні передумови.

14.           Визначити закон розподілу напружень по висоті перерізу балки.

15.           Зробити висновки та відповісти на контрольні запитання.

16.           Захистити лабораторну роботу у викладача.

Тестові запитання для самоконтролю

 

1.  Яка одиниця вимірювання напруження при згині?

Н/м2;

Н·м;                   

Н;

м.

2.  Як позначається модуль Юнга, модуль поздовжньої пружності?

Е;

σпц;

G;                                

μ.

3.  Яка одиниця  вимірювання модуля  поздовжньої пружності матеріалу Е?

Н/м2;         

Н;

м;                        

Н∙м.

4.  Згин, при якому поперечна сила в перерізах балки дорівнює нулю називається:

чистим згином;

поперечним згином;

поздовжнім згином;

згином з крученням.

5.      Момент внутрішньої пари сил, що складається з елементарних нормальних зусиль, які виникають в поперечному перерізі балки при згині називається:

згинальним моментом;

крутильним моментом;

реактивним моментом;

зосередженим моментом.

6.  Яка одиниця вимірювання згинального моменту?

Н·м;

Н;

м;

Н/мм2.

7.  Від чого залежить модуль поздовжньої пружності Е?

від властивостей матеріалу;

від навантаження;

від розмірів перерізу;

від розмірів деталі.

8.  Який фізичний зміст модуля пружності матеріалу Е?

характеризує його жорсткість;

характеризує його міцність;

характеризує його пружність;

характеризує його стійкість.

9.  Як розрахувати максимальні напруження при згині?

pit 9.PNG

10. Зразки якого перерізу використовують при випробуванні матеріалів на згин?

двотаврового перерізу;

круглого перерізу;

квадратного перерізу;

прямокутного перерізу.

11. З якого матеріалу виконана дослідна балка?

алюміній;

сталь;

дерево;

чавун.

12. Чому дорівнює модуль пружності алюмінієвої балки?

pit 12.PNG

.

13. Які силові фактори викликають нормальні напруження в поперечному перерізі балки?

згинальні моменти;

поперечні сили;

розподілені навантаження;

крутильні моменти.

14. Поверхня, що розділяє зону стиску від зони розтягу називається:

нейтральний шар;

нейтральна вісь;

лінія перетину;

          площина перерізу.

15. Лінія перетину нейтрального шару з площиною поперечного перерізу називається:

 нейтральна вісь;

 нейтральний шар;

лінія перетину;

головна центральна вісь.

16. Як розподілені нормальні напруження по висоті перерізу балки?

за лінійним законом;

за криволінійним законом;

за гіперболічним законом;

за параболічним законом.

17. У скількох точках підключені тензометри по висоті перерізу дослідної балки?

у 7-х точках;

у 4-х точках;

у 3-х точках;

у 12-х точках.

18. За допомогою якого пристрою вимірюються деформації при проведенні досліду?

вимірювача деформацій ИДЦ-1;

індикатором годинникового типу ИЧ-10;

штангенциркулем ШЦ-0,1;

силовимірювачем.

19. Як записується закон розподілу нормальних напружень?

pit 19(1).PNG

20.      Чому дорівнює координата у по нейтральній лінії дослідної балки?

у = 0;

у = 50;

у = 20;

у = 40.