1. Основні параметри електростатичного поля

Електростатичне поле – це частковий вид електромагнітного поля. Воно створюється сукупністю електричних зарядів, нерухомих в просторі по відношенню до наглядача і незмінних в часі.

З курсу фізики відомо, що люба речовина складається з елементарних заряджених часток, оточених електромагнітним полем.

Елементарні заряди (заряди електрона і протона) характери-зуються зв’язком з власним і взаємодією з зовнішнім електричним полями. Електростатичне поле має лише електричну складову електромагнітного поля.

Під зарядом (зарядом тіла) розуміють скалярну величину, яка дорівнює алгебраїчній сумі елементарних електричних зарядів в цьому тілі. У основу визначення електричного поля покладено механічний його прояв. Воно описується законом Кулона.

Закон Кулона формулюється таким чином: два точкових заряди q₁ і q₂ у вакуумі взаємодіють між собою з силою F, прямо пропорційною добутку зарядів q₁ і q₂ і зворотно пропорційно квадрату відстані R між ними. Ця сила направлена по лінії, яка з’єднує точкові заряди (рисунок 18.1).

Рис. 18.1. Ілюстрація до закону Кулона

де F – сила взаємодії між точковими зарядами, Н; q₁, q₂ – точкові заряди, Кл; r – відстань між точковими зарядами, м; ε₀ – електрична постійна, Ф/м; ε – відносна діелектрична проникність середовища, у якому знаходяться заряди; R₀ – одиничний вектор, направлений по лінії, яка з’єднує заряди.

Електричне поле зарядженого тіла діє на електричний заряд, поміщений в будь-яку його точку, з визначеною силою.

Для силової характеристики електричного поля введене по-няття напруженості електричного поля в даній точці, під якою розуміється фізична величина, чисельно рівна відношенню сили, з якою поле діє на одиничний заряд, поміщений у дану точку поля, до значення цього заряду, тобто

Напруженість електричного поля – величина векторна, яка ви-значається в кожній точці величиною і напрямом.

Сила, діюча на заряд може бути визначена за рівнянням

Якщо поле утворюється декількома зарядами q₁, q₂, q₃ …, то його напруженість дорівнює геометричній сумі напруженостей від кожного заряду поодинці

Поле є носієм енергії, тобто може виконувати роботу за допо-могою сил поля по переміщенню заряду.

Потенціал точки поля може бути визначеним як відношення роботи, яка виконується силами поля по переносу одиничного позитивного заряду з даної точки поля в точку поля, до величини цього заряду. Потенціал якої дорівнює нулю (у нескінченність).

Робота, яка пов’язана з переміщенням заряду по будь-якому замкнутому шляху, дорівнює нулю: після повернення заряду в початкову точку отримаємо попереднє розподілення зарядів і поперед-ій запас енергії:

Геометричне місце точок електричного поля, де потенціал має однакові значення φ = соnst називають еквіпотенціальними поверхнями.

Напруга U₁₂ – це різниця потенціалів між точками 1 і 2, яка залежить тільки від положення цих точок і не залежить від шляху, по якому проходило переміщення.

Якщо пройти по замкнутому шляху, то початкова точка 1 і кінцева 2 співпадуть, тоді різниця потенціалів цих точок буде дорівнювати нулю.

Якщо різницю потенціалів між двома точка розділити на найкоротший шлях, то отримана величина буде швидкістю зміни потенціалу в напряму найкоротшого шляху між точками. Ця швидкість буде залежати від напряму, вздовж якого взяті точки. У курсі математики є поняття градіана скалярної функції, під якою розуміють швидкість зміни скалярної функції, взяту в напрямі її найбільшого збільшення.

Приймемо що φ₁ > φ₂, напруженість електричного поля направлена від більш високого потенціалу φ₁ до більш низького потенціалу φ₂. Тоді маємо

Градієнт потенціалу – це швидкість зміни потенціалу, яка визначається за формулою

Знак «мінус у формулі вказує, що вектор напруженості направлений в сторону зменшення потенціалів, а радіан потенціалу приймається в сторону збільшення.

Для скорочення запису різних операцій над скалярними і векторними величинами використовують диференційний оператор Гамільтона (оператор набла ∀). Під диференційним оператором Гамільтона (оператором набла) розуміють суму часткових похідних по трьох координатних осях, помножених на відповідні одиничні вектори (орти). Виходячи з визначення градієнту потенціалу слід зауважити, що ∀φ еквівалентна запису gradφ. Оператор означає взяття градієнту від цієї скалярної функції.

Якщо взяти поверхневий інтеграл напруженості електричного поля по деякій поверхні S, то отримаємо ще одну скалярну характеристику електричного поля – потік вектора його напруженості:

Потік вектору через елемент поверхні може бути позитивним, або негативним. Позитивне значення потоку означає, що він направлений в сторону dS, негативне – він направлений зворотно.

В електротехнічних розрахунках окрім вектору E використовують вектор електричної індукції або вектор електричного зміщення D.

Теорема Гауса є однією з важливіших теорем електростатики. Вона відповідає закону Кулона і принципу накладання. Теорему Гауса формулюється таким чином: потік вектора електричного зміщення через любу замкнуту поверхню, яка оточує деякий об’єм, дорівнює алгебраїчній сумі вільних зарядів, які знаходяться усередині цієї поверхні.

Теорему Гауса в диференціальній формі записують наступним чином:

Залежності вектора електричного зміщення від щільності зарядів наведена на рисунку 18.2

Рис. 18.2. Залежність вектор електричного зміщення від щільності зарядів

Окремий випадок рівняння Пуассона, коли ρ = 0, називають рівнянням Лапласа. Рівняння Лапласа записується так

В провідному тілі, яке знаходиться в електростатичному полі, внаслідок явища електростатичної індукції відбувається розділ зарядів. Негативні заряди зміщуються на поверхню тіла, яка повернута в сторону з більш високим потенціалом, позитивні – в протилежну сторону. Всі точки тілі будуть мати однаковий потенціал. Якщо між будь-якими точками виникла б різниця потенціалів, то під її дією з’явився би упорядкований рух зарядів, що протирічить поняттю електростатичного поля.

Поверхня тіла еквіпотенціальна. Вектор напруженості зовніш-нього поля в любій точці поверхні підходить до неї під прямим кутом. В середині провідного тіла напруженість поля дорівнює нулю, так як зовнішнє поле компенсується полем зарядів, розташованих на поверхні тіла.

2. Електричне поле постійного струму в електропровідному середовищі та його основні параметри

Якщо під впливом зовнішніх джерел у провідному середовищі (металевих проводах, землі, рідині) створено електричне поле, то в ньому буде протікати електричний струм.

Упорядкований рух вільних електронів у металі і іонів у ріди-ні під впливом електричного поля прийнято називати струмом провідності.

При своєму упорядкованому русі носії зарядів випробовують численні зштовхування з іншими частками речовини, які знаходять-ся в тепловому русі. Властивість середовища, що характеризує його здібність проводити струм, називають питомою провідністю γ.

Основною величиною в електричному полі провідного середовища є щільність струму δ. Це векторна величина, яка направлена по напруженості електричного поля. Вона чисельно дорівнює відношенню Δi, що проходить через елемент поверхні ( перпендикулярний до направлення напруженості поля в даній точці) до величини ΔS цієї поверхні.

Якщо поверхня має конечні розміри, то напрям вектора щільності струму у всіх елементах, на які може бути розбита ця поверхня, і напрям елементів поверхні можуть бути різними, і струм визначить таким чином

Отже, струм - є потік вектора щільності струму.

При протікання постійних струмів як всередині провідних тіл, так і зовні їх існують постійні (незмінні в часі) магнітні поля. Оскільки такі поля незмінні в часі, то не виникає явища електромагнітної індукції, тобто магнітне поле, створене постійним струмом, не впливає на електричне поле постійного струму. Тому електричні і магнітні поля постійного струму можна розглядати окремо.

Закон Ома встановлює зв’язок між струмом, що тече в провіднику і напругою на його кінцях.

Коефіцієнт пропорційності називається опором провідника, який визначається за рівнянням:

Рівняння узагальненого закону Ома і диференціальної форми другого закону Кірхгофа має вигляд:

Потужність, що обумовлена виділенням тепла у провіднику при протіканні по ньому електричного струму, визначається законом Джоуля-Ленца:

В диференціальній формі закон Джоуля-Ленца має вигляд

Якщо у об’ємі елементу провідника протікає постійний струм, незмінний в часі, то можна сказати, що сума струмів, що входить до об’єму елементу проводу дорівнює сумі струмів, що виходять із об’єму. Таким чином диференціальна форма першого закону Кірхгофа:

3. Магнітне поле постійного струму.

Магнітне поле постійного струму є одним із компонентів електромагнітного поля. Воно утворюється незмінними в часі струмами, що протікають по провідних тілах, нерухомих в просторі по відношенню до наглядача. Оскільки струм незмінний у часі, то магнітне поле не залежить від електричного поля.

Магнітне поле характеризується індукцією B, намагніченістю J і напруженістю магнітного поля H. Ці три величини зв’язані співвідношенням

Одним з основних проявів магнітного поля є вплив його на провід з током, який поміщений в це поле. Сила, з якою магнітне поле діє на елемент провідника визначається співвідношенням

Кількісний зв’язок між циркуляцією вектора H по замкнутому контуру і струмом всередині контуру визначає закон повного струму в інтегральній формі: лінійний інтеграл від напруженості магнітного поля вздовж любого замкнутого контуру рівний повному току, який пронизує замкнутий контур:

Під повним струмом розуміють весь струм (струм провідності і струм зміщення). Закон повного струму у диференціальній формі.

Магнітний потік, що пронизує будь-яку поверхню S дорівнює

Таким чином, магнітний потік через поверхню S дорівнює лінійному інтегралу векторного потенціалу по замкнутому контуру, що обмежує цю поверхню.

Магнітний опір середовища магнітному потоку визначається за формулою:

У магнітному полі, як в електростатичному і полі провідного середовища, виконуються визначені граничні умови.

4. Основні рівняння змінного електромагнітного поля

Під змінним електромагнітним полем розуміють сукупність змінних в часі і взаємно зв’язаних і обумовлюючих один одне електричного і магнітного полів.

Воно визначається двома векторними величинами – напруженістю електричного поля E і напруженістю магнітного поля H.

Змінне електромагнітне поле є одним з видів матерії. Воно має енергію, масу, кількість руху, може перетворюватися в інші види матерії і самостійно існувати у вигляді електромагнітних хвиль.

При дослідженні процесів в змінному електромагнітному по-лю користуються рівняннями Максвелла. Систему рівнянь Максвелла створюють чотири рівняння.

Перше рівняння Максвелла виражає зв’язок між ротором напруженості електричного поля і щільністю струму в тій же точці поля, записується перше рівняння Максвелла наступним чином:

Струм електричного зміщення виникає в любому діелектрику, в тому числі і в вакуумі. Хоча природа струму провідності і струму зміщення неоднакова, але кожен з них має властивість викликати магнітне поле.

Друге рівняння Максвелла визначає зв’язок між ротором напруженості електричного струму і швидкості зміни магнітного поля в тій же точці. Друге рівняння Максвелла записується наступним чином:

Фізичний смисл складається в тому, що люба зміна магнітного поля в часі в будь-якій точці поля збуджує вихор або ротор електричного поля в тій же точці, тобто викликає вихрове електричне поле. Друге рівняння Максвелла називають диференціальною формою закону електромагнітної індукції.

Окрім рівнянь Максвелла, велике значення в теорії електромагнітного поля має теорема Умова-Пойнтінга, яка описує енергетичні співвідношення у електромагнітному полі

Теорему Пойнтінга слід трактувати як рівняння енергетичного балансу: ліва частина є потужність або енергія в одиницю часу, яка доставляється у вигляді потоку вектора Пойнтінга в середину деякого об’єму; права частина є енергія, що витрачається одиницю часу в середині об’єму.

5. Контрольні питання

1. Назвіть яке призначення має підсилювач електричних сигналів?
2. Чим створюється електростатичне поле?
3. Електростатичне є якою складовою електромагнітного поля?
4. Що розуміють під зарядом (зарядом тіла?)
5. Як формулюється закон Кулона?
6. Який математичний запис закону Кулону?
7. Що означає R₀?
8. Як позначається електрична постійна?
9. Яка одиниця електричної постійної?
10. Як позначається відносна діелектрична проникність?
11. Що є силовою характеристикою електричного поля?
12. Що розуміється під напруженості електричного поля в даній точці?
13. Як визначити напруженість електричного поля?
14. Яка одиниця напруженості електричного поля?
15. Що розуміється під потенціалом електричного поля?
16. За якою формулою визначають потенціал електричного поля?
17. Яка одиниця потенціалу?
18. Що таке електрична напруга між точками 1 і 2?
19. Яку поверхню в електричному полі називають еквіпотенціальною?
20. Що розуміють під градієнтом потенціалу?
21. Як позначається градієнт потенціалу?
22. За якою формулою визначається градієнт потенціалу?
23. Що розуміють під диференційним оператором Гамільтона (оператором набла)?
24. Якою літерою позначається оператор Гамільтона?
25. За якою формулою визначається оператор Гамільтона?
26. Як позначається вектор електричного зміщення?
27. За якою формулою визначається вектор електричного зміщення?
28. Наведіть формулювання теореми Гаусса.
29. Наведіть математичний запис першої форми запису теореми Гауса.
30. Що розуміють під дивергенцією електричного вектора зміщення?
31. Наведіть рівняння Пуассона.
32. Наведіть рівняння Лапласса.
33. Наведіть математичний запис першої форми запису теореми Гауса.
34. Як позначається об’ємна щільність зарядів електричного поля?
35. Який напрям мають лінії вектору електричного зміщення D, якщо об’ємна щільність зарядів в точці позитивна (ρ > 0)?
36. Який напрям мають лінії вектору електричного зміщення D, якщо об’ємна щільність зарядів в точці негативна (ρ < 0)?
37. Який напрям мають лінії вектору електричного зміщення D, якщо об’ємна щільність зарядів в точці негативна (ρ = 0)?
38. Наведіть формулу для визначення енергії електростатичного поля, утворених системою n заряджених тіл, які мають потенціали φ1… φn і заряди q₁ … q_n.
39. Що розуміють під струмом провідності?
40. Яка величина характеризує властивість середовища проводити електричний струм?
41. Якою літерою позначається питома провідність?
42. Яку розмірність має питома провідність?
43. Як визначити силу струму через щільність струму і площу елементу поверхні?
44. Наведіть рівняння диференціальної форми закону Ома.
45. Наведіть рівняння узагальненого закону Ома і диференціальної форми другого закону Кірхгофа.
46. Наведіть рівняння диференціальної форми закону Джоуля-Ленца.
47. Наведіть рівняння диференціальної форми першого закону Кірхгофа.
48. Наведіть формулу для визначення вектору щільності струму.
49. Яку розмірність має щільності струму?
50. Як визначити потужність, що обумовлена виділенням тепла у провіднику при протіканні електричного струму?
51. Яку розмірність має електрична потужність?
52. Якими величина характеризується магнітне поле?
53. Яким співвідношення зв’язані магнітна індукція, намагніченість і напруженість магнітного поля?
54. Чому дорівнює магнітна стала?
55. Наведіть формулювання закону повного струму.
56. Наведіть рівняння закону повного струму в інтегральній формі.
57. Наведіть рівняння закону повного струму в диференціальній формі.
58. Як позначається скалярний магнітний потенціал?
59. Як позначається векторний магнітний потенціал?
60. В чому вимірюється магнітний потік?
61. Що розуміють під змінним електромагнітним полем ?
62. Якими векторними величинами визначається змінне електромагнітне поле?
63. Який зв’язок між якими величинами виражає перше рівняння Максвелла?
64. Як записується перше рівняння Максвелла?
65. який зв’язок між якими величинами виражає друге рівняння Максвелла?
66. Як записується друге рівняння Максвелла?
67. Що описує теорема Умова-Пойнтінга?

НАГОРУ