Розділ І. ТЕОРЕТИЧНА МЕХАНІКА. статика

1.1  Вступ в теоретичну механіку. Вступ в статику

 

Теоретична механіка – це наука, в якій вивчаються механічні рухи речових форм матеріальних об'єктів.

Теоретичну механіку називають ще класичною механікою або механі-кою Ньютона.

Механічний рух – це переміщення матеріальних об'єктів в просторі з часом без розгляду фізичних властивостей цих об'єктів і їх зміни в процесі руху.

Теоретична механіка вивчає тільки речові форми матеріальних об'єктів. Елементарні частинки і різні поля не являються предметом вивчення в теоре-тичній механіці.

Рух матеріальних об'єктів відбувається в просторі і в часі. Простір є тривимірним простором Евкліда.

Теоретична механіка являється базою для інших розділів механіки (те-орії пружності, опору матеріалів, теорії механізмів і машин та ін.) і багатьох технічних дисциплін.

Теоретична механіка ділиться на три частини: статику, кінематику і ди-наміку. Головною частиною є динаміка.

Вивчення теоретичної механіки зазвичай починається із статики.

Статика - це розділ теоретичної механіки, в якому висловлюється за-гальне вчення про сили і вивчаються умови рівноваги матеріальних тіл, що знаходяться під дією сил.

Під рівновагою тіла в статиці розуміється стан його спокою по відно-шенню до інших тіл, що приймаються за нерухомі.

У теоретичній механіці розглядаються такі векторні величини як сила, моменти сили відносно точки та осі, момент пари сил, швидкість, прискорен-ня та інші.

Поняття вектора. Для визначеності розглянемо прямокутну Декар-тову систему координат.

Вектор - це направлений відрізок, який характеризується довжиною і напрямом.

Операції над векторами. Вектори можна складати і множити на число.

  сума двох векторів є вектор,

  добуток вектора на дійсне число є вектор,

  існує нульовий вектор.

В математиці всі вектори є вільними, їх можна переносити паралельно самим собі.

У сумі двох векторів (рисунок 1.1а) початок другого вектора можна помістити в кінець першого, тоді суму двох векторів можна представити як вектор, що має начало на початку першого вектора, а кінець - в кінці друго-го вектора. Застосовуючи це правило для суми декількох векторів (рисунок  1.1б) отримуємо, що сумою декількох векторів є вектор, що замикає ламану лінію, що складається з складових векторів.

Праві та ліві системи координат

Декартові системи координат діляться на два види: праву та ліву.

Розглянемо Декартові системи координат на площині (рисунок 1.2).

При повороті осі Ox правої системи координат на проти годинни-кової стрілки вона співпадає з віссю Oy.

Розглянемо Декартові системи координат в просторі (рисунок 1.3).
При повороті осі Ox правої системи координат навколо осі Oz на проти годинникової стрілки вона співпадає з віссю Oy.

 

Довжина проекції та направляючі косинуси вектора
Надалі розглядатимемо праву Декартову систему координат. Одиничні вектори вздовж осей Ox, Oy і Oz утворюють систему одиничних (або базис-них) векторів. Будь-який вектор, що має початок у точці O можна представи-ти як суму  на осі координат (рисунок 1.4).

Довжина (або модуль) вектора визначається формулою

Проекцією вектора на вісь називається скалярна величина, яка визнача-ється відрізком, що відсікається перпендикулярами, опущеними з початку та кінця вектора на цю вісь. Проекція вектора вважається позитивною (+), якщо напрям її співпадає з позитивним напрямом осі, і негативною (-) – якщо про-екція направлена в протилежну сторону.

Направляючими косинусами  вектора назива-ються косинуси кутів між вектором і позитивними напрямами осей Ox, Oy і Oz відповідно.

Будь-яка точка простору з координатами  (x, у, z) може бути задана своїм радіус-вектором.

 

Координати  (x, у, z)  це проекції вектора   на осі  координат.
Скалярний добуток двох векторів 

Є два вектори Результатом скалярного добутку двох векторів  є скалярна величина. 

 

 

Векторний добуток двох векторів

Є два вектори   Результатом скалярного добутку двох векторів  є. Записується як 

Векторний добуток двох векторів (рисунок 1.6) – це вектор  , перпен-дикулярний обом цим векторам, і направлений так, щоб з його кінця поворот вектора   до вектора   був видний проти годинникової стрілки.

Довжина  (або модуль)  векторного добутку дорівнює:

Властивості векторного добутку:

Властивості векторного добутку:Векторний добуток двох векторів обчислюється через їх проекції таким чином:

 

1.2  Основні поняття і визначення статики

 

Матеріальним тілом називається деяка кількість речовини, яка запо-внює будь-який об'єм в просторі. Можливі випадки, коли тіло в тих або ін-ших напрямах має вельми малі розміри в порівнянні з розмірами в інших напрямах.

Матеріальною точкою називається проста модель матеріального тіла будь-якої форми, розміри якого достатньо малі, і яке можна прийняти за ге-ометричну точку, що має певну масу.

Механічною дією  одного тіла на інше називається така дія, при якій нехтують змінами в хімічній структурі тіла і його фізичному стані. Якщо тіло випробовує механічна дія з боку інших матеріальних тіл, то воно може змі-нювати свій рух в просторі або залишатися в спокої. Механічна дія може ві-дбуватися як при зіткненні тіл, так і на відстані (тяжіння, відштовхування).

Механічною системою  називається будь-яка сукупність матеріальних точок.

Абсолютно твердим тілом (або незмінною механічною системою) називається матеріальне тіло, геометрична форма якого і розміри не зміню-ються ні при яких механічних діях з боку інших тіл, а відстань між будь-якими двома його точками залишається постійним.

Сила - це основна кількісна міра механічної дії одного тіла на інше, яка характеризує його інтенсивність і напрям.

Природа сили може бути різною. Це можуть бути гравітаційні, елект-ромагнітні, пружні сили або сили тиску. Теоретична механіка не цікавиться природою сил.

Сила визначається точкою прикладання, числовим значенням і напря-мом дії, тобто є векторною величиною.

Модуль сили знаходять шляхом її порівняння з силою, прийнятою за одиницю. Для статичного вимірювання сили служать прилади, звані  дина-мометрами.

Силу, як величину векторну позначають буквою і знаком вектора  . Для виразу числового значення сили або її модуля використовується знак модуля від вектора або без знаку вектора

Системою сил  називається група сил, які діють на дане тіло або (у за-гальному випадку) на точки механічної системи.

Якщо лінії дії всіх сил лежать в одній площині, то система сил назива-ється плоскою, а якщо ці лінії дії не лежать в одній площині, - то система сил називається просторовою.

Системою сил еквівалентною нулю, або урівноваженою системою сил називається така система сил, дія якої на тверде тіло або матеріальну то-чку, що знаходяться у спокої або рухомі за інерцією, не приводить до зміни стану спокою або руху за інерцією цього тіла або матеріальної точки.

Дві системи сил називаються еквівалентними, якщо їх дія окремо на одне і те ж тверде тіло або матеріальну точку однаково за інших рівних умов.

Рівнодіючою силою  даної системи сил називається сила, дія якої на тверде тіло або матеріальну точку еквівалентна дії цієї системи сил. Рівноді-ючу силу позначають зазвичай  .

Силою що врівноважує дану системи сил називається сила, додавання якої до заданої системи сил дає нову систему, еквівалентну нулю.

Сила що врівноважує дорівнює по модулю рівнодіючій і протилежна їй за напрямом.

Сила, прикладена до тіла в одній її точці називається зосередженою(F). Сили, що діють на всі точки даного об'єму, даній частині поверхні тіла або даної частини кривої, називаються розподіленими (q) .

Поняття про зосереджену силу є умовним. Сили, які в механіці розгля-даються як зосереджені, є рівнодіючими деяких систем розподілених сил.

1.3 Аксіоми та теореми статики

 

Аксіома про рівновагу двох сил (рисунок 1.7). Якщо на вільне абсолютно тверде тіло діють дві сили, то тіло може знаходитися в рівновазі тоді і тільки тоді, коли ці сили  рівні по величині і направлені вздовж однієї прямої в про-тилежні сторони.

Аксіома про додавання (відкидання) урівноваженої системи сил (рисунок 1.8). Якщо на тверде тіло діє система сил, то до неї можна додати (відкинути) врівноважену систему сил. Отримана після додавання (відкидання) нова сис-тема сил еквівалентна первинній.

Аксіома паралелограма сил.  Дві сили, прикладені до тіла в одній точці ма-ють рівнодіючу, прикладену в тій же точці і рівну по величині і напряму діа-гоналі паралелограма, побудованого на цих силах, як на сторонах.

Ця аксіома допускає і зворотне твердження:
Силу можна розкласти безліччю способами на дві сили, прикладені в будь-якій точці лінії дії даної сили.

Аксіома про рівність дії  та протидії (рисунок 1.9). При всякій дії одного матеріального тіла на інше має місце така ж по величині, але проти-лежна за напрямом протидія.

Якщо до даного тіла прикладена сила дії    від іншого тіла, то від да-ного тіла до іншого тіла буде прикладена сила  , яка дорівнює і прямо протилежна силі   . Сили прикладені в одній геометричній точці, але до різ-них тіл.

Вільним твердим тілом  називається тіло, що має можливість отри-мувати будь-який рух з даного положення, для чого необхідно прикласти ві-дповідну силу.

При вирішенні більшості завдань механіки доводиться мати справу з тілами позбавленими можливості переміщатися у напрямі дії прикладених до них активних сил.

Тіла, що обмежують рух даного тіла, називаються  зв'язками.

Сила, з якою зв'язок діє на тіло, перешкоджаючи його переміщенню в тому або іншому напрямі називається силою реакції (протидії)  цього зв'язку або просто реакцією зв'язку.

Аксіома про зв'язки (рисунок 1.10).  Ефект від дії зв'язків такий же, як від дії певних, додаткових сил, які можуть бути прикладені до вільного тіла замість зв'язків.

Аксіому про зв'язки називають також принципом визволення від зв'я-зків. Згідно цій аксіомі, не змінюючи рівноваги тіла, кожен зв'язок можна відкинути, замінивши її реакцією зв'язку.

Сили, які можуть повідомляти вільному тілу рух, називаються актив-ними силами.

Приклавши до тіла, окрім активних сил, реакції зв'язків, можна розг-лядати тіло як вільне. Активні сили  і  сили реакції називаються зовнішніми силами.

Наприклад, на гладкій нерухомій горизонтальній площині покоїться куля (рисунок 1.10),  площина, що обмежує рух кулі, є для нього зв'язком. Якщо звільнити кулю від зв'язку, то для утримання його у спокої до нього в точці дотику з площиною потрібно прикласти силу , рівну по модулю ваги кулі   і протилежну йому за напрямом. Сила    і є реакція площини (реак-ція зв'язку). Куля, звільнена від зв'язку, буде вільним тілом, на яке діє сила  , що задається (активна), і реакція площини   .

Аксіома твердіння. Рівновага механічної системи не порушується від накладення нових зв'язків; зокрема, рівновага механічної системи не пору-шиться, якщо всі частини системи зв'язати між собою незмінно, жорстко.

Теорема про перенесення сили уздовж лінії дії (рисунок 1.11).

Дія сили на тверде тіло не зміниться від перенесення сили уздовж своєї лінії дії.

Теорема про три сили (рисунок 1.12).

Якщо тверде тіло під дією трьох сил, дві з яких перетинаються в одній точці, знаходиться в рівновазі, то лінії дії таких трьох сил перетинаються в одній точці.
 отже сили перетинаються в одній точці.

 

 1.4 Реакції зв'язків. Системи сил, що сходяться. Умови рівноваги системи сил, що сходяться

 

Реакції зв'язків

Окреме тіло може бути пов'язане з іншими тілами різними способами.

 

Тіла, що контактують з поверхнею

Якщо контактують абсолютно гладкі тіла, то сили взаємодії між ними направлені по загальній нормалі до їх поверхонь в точці зіткнення.

 

Зв'язок за допомогою ниток (нитка, ланцюг, трос)

Зв'язок, здійснюваний у вигляді гнучкої нерозтяжної і невагомої нитки, не дає віддалятися тілу від точки підвісу уздовж нитки.  Тому реакція натяг-нутої нитки також направлена уздовж нитки,  до точки її підвісу.

Звільнимо гирю від зв'язку (розрізаємо нитку в будь-якому місці) і до-давши силу реакції зв'язку, який направимо вздовж нитки вгору (позначимо її   ). Гиря стає вільним твердим тілом, на яке діють дві сили і при цьому во-но знаходиться у спокої. Згідно з аксіомою про рівновагу двох сил, сили    і    рівні за величиною і протилежні за напрямом.

Виріжмо частину нитки в будь-якому місці і додамо в місцях розрізу сили реакції зв'язку (рисунок 1.15), позначимо їх   і  . Тіло під дією двох сил знаходиться в рівновазі. Згідно з аксіомою про рівновагу двох сил, сили   і   рівні за величиною і діють уздовж однієї прямої в протилежні сторо-ни.

З'єднання тіл за допомогою шарнірів

Шарніром називається пристрій, що зв'язує тіла і що дозволяє  здійс-нювати обертання одного тіла відносно іншого.

Циліндровий шарнір (рисунок 1.16а)допускає обертання тіл навколо однієї осі (і ковзання вздовж неї).

Шарнірно-нерухома опора (рисунок 1.16б)перешкоджає будь-якій по-ступальній ході, але дає можливість вільно обертатися навколо осі шарніра.

Реакція     шарнірно-нерухомої опори проходить через центр шарні-ра  А  і лежить в площині перпендикулярною до осі шарніра, але її модуль і напрям невідомі.

Шарнірно-рухома опора ( шарнірно-нерухома опора поставлена на катки) не перешкоджає переміщенню паралельно опорної поверхні. Якщо не враховувати тертя катків, то лінія дії реакції такої опори проходить через центр шарніра перпендикулярно опорній поверхні. Невідомий тільки модуль цієї реакції.

Кульовий шарнір. Кульовим шарніром називається пристрій, що до-зволяє тілам, які мають загальну точку з’єднання, здійснювати обертання в просторі відносно один одного навколо загальної точки. Кульовий шарнір складається з сферичної чаші, що знаходиться на одному тілі, і сферичного виступу того ж діаметру на іншому. Реакція в кульовому шарнірі може мати будь-який напрям в просторі.

Жорстке затиснення

У разі затиснення одного тіла в інше реакція зв'язку складається з сили   і пари сил з моментом  . Величина і напрям реакції визначається із зага-льних рівнянь рівноваги твердого тіла.

Приклад 1.1 На невагому трьохшарнірну арку (рисунок 1.20)діє гори-зонтальна сила   . Визначити лінію дії реакції     (реакції зв'язку в точці А).

Розв’язання: Розглянемо праву частину арки окремо. У точках В і С прикладемо сили реакції зв'язків   і  .  Тіло під дією двох сил знаходить-ся в рівновазі. Згідно аксіомі про рівновагу двох сил, сили   і    однакові по величині і діють вздовж однієї прямої в протилежні сторони. Таким чином напрям сили    нам відомий (вздовж лінії  ВС).

Розглянемо ліву частину арки окремо. У точках А і С прикладемо сили реакції зв'язків   і  . Сила   = - дія дорівнює протидії. На тіло діють три сили, напрями двох сил  (  і  ) відомі. Згідно теореми про три сили лі-нії дії всіх трьох сил перетинаються в одній точці. Отже, сила   направлена вздовж лінії AD.

Приклад 1.2. Однорідний стержень закріплений шарнірно в точці А і спирається на гладкий циліндр (рисунок 1.21). Визначити лінію дії реакції     (реакції зв'язку в точці А).

Розв’язання: Оскільки стержень однорідний, то рівнодіюча сил тяжін-ня (сила  ), що діють на стрижень, прикладена в його геометричному центрі (точка С). Оскільки стрижень спирається на гладку поверхню, то реакція зв'язку (сила  ) в точці дотику  (точка D) направлена по нормалі до цієї по-верхні. На тіло діють три сили, напрями двох сил ( і ) відомі. Згідно тео-реми про три сили лінії дії всіх трьох сил перетинаються в одній точці.

Отже, сила    направлена вздовж лінії  AЕ.

Система сил, що сходиться

Системою сил , що сходиться, називається така система сил, лінії дії якої перетинаються в одній точці.

Рівнодіюча системи сил, що сходиться, дорівнює векторній сумі скла-дових сил і визначається замикаючою стороною силового багатокутника, побудованого на силах як на складових. Точка додатку рівнодіючої сили співпадає з точкою перетину ліній дії сил

Проекції рівнодіючої сили на осі координат дорівнюють алгебраїчній сумі проекцій сил, що становлять на ці осі.

Умови рівноваги системи сил, що сходяться у векторній формі

Для рівноваги системи сил, прикладених до твердого тіла, що сходиться необхідно і достатньо, щоб рівнодіюча сила дорівнювала нулю.

 

Умови рівноваги системи сил, що сходяться в алгебраїчній формі

Для рівноваги просторової системи сил, що сходяться, прикладених до твердого тіла, необхідно і достатньо, щоб суми проекцій всіх сил на кожну з трьох прямокутних осей координат дорівнювали нулю.

 

1.5 Момент сили відносно точки.

 

Момент сили відносно осі Якщо під дією прикладеної сили тверде тіло може здійснювати обертання навколо деякої точки, то для того, щоб охарактеризувати обертальний ефект сили, необхідно ввести нове поняття - момент сили відносно точки.

Розглянемо силу , прикладену до тіла в точці А. З деякої точки О опустимо перпендикуляр на лінію дії сили .

Плечем d сили відносно точки О називається найкоротша відстань між цією точкою і лінією дії сили.

 Через силу і точку О можна провести площину. Сила намагається обертати тіло навколо осі, яка проходить через точку О і яка перпендикулярна площині, в якій лежить сила. Точка О називається моментною точкою.

Моментом сили відносно точки О (рисунок 1.24) називається вектор  , прикладений в цій точці і рівний векторному добутку радіус-вектора, що з’єднує цю точку з точкою додатку сили на вектор сили .

Модуль вектора дорівнює добутку модуля сили на її плече h .

 

Момент сили відносно точки О направлений перпендикулярно площині, в якій лежать сила і моментна точка (радіус-вектор), в тому напрямі звідки видно прагнення сили обертати тіло проти руху годинникової стрілки.

Момент сили відносно точки не міняється від перенесення сили вздовж лінії її дії.

Момент сили дорівнює нулю, якщо лінія дії сили проходить через момент ну точку.

Якщо сила задана своїми проекціями на осі координат і задані координати x, y, z точки додатку цієї сили, то момент сили відносно початку координат обчислюється таким чином: 

Проекції моменту на осі координат дорівнюють: 
 

Момент сили відносно осі До твердого тіла в точці А прикладена сила . Проведемо в просторі вісь (наприклад z). На осі z довільно виберемо точку О. З'єднаємо точку О з точкою А радіус-вектором. Через точку О проведемо площину П перпендикулярну осі z. Спроектуємо вектора і  на площину П .

Моментом сили відносно осі називається вектор, який дорівнює моменту проекції сили на площину П відносно точки О перетину осі z з площиною П.

Властивості моменту сили відносно осі:

1 Момент сили відносно осі дорівнює нулю, якщо сила паралельна осі. В цьому випадку дорівнює нулю проекція сили на площину, перпендикулярну осі.

2 Момент сили відносно осі дорівнює нулю, якщо лінія дії сили перетинається з віссю. В цьому випадку дорівнює нулю плече сили.

Зв'язок моменту сили відносно осі з моментом сили відносно точки

 Проведемо через точку О, де заданий момент сили відносно точки Декартові осі координат x, у, z . Момент сили відносно точки можна представити у вигляді суми трьох векторів  . Ці вектора є моментами сили відносно осей x, у, z відповідно.

 

Момент сили відносно осі дорівнює проекції на цю вісь моменту сили відносно будьякої точки на осі.

Формули для моментів сили відносно осей координат

Якщо сила задана своїми проекціями на осі координат і задані координати x, y, z точки додатку цієї сили відносно осей координат, то моменти сили відносно осей координат обчислюються таким чином:

 

1.6 Пара сил. Теорема про суму моментів пари сил

 

Парою сил називається система двох однакових по модулю, паралельних і направлених в протилежні сторони сил, що діють на абсолютно тверде тіло.

Площиною дії пари сил називається площина, в якій розташовані ці сили.

Плечем пари сил d називається найкоротша відстань між лініями дії пари сил.

 

Моментом пари сил називається вектор , модуль якого дорівнює добутку модуля однієї з сил пари на її плече і який направлений перпендикулярно площини дії сил пари в ту сторону, звідки пару видно прагнучою повернути тіло проти ходу годинникової стрілки.

Теорема про суму моментів пари сил. Сума моментів сил, що входять до складу пари, відносно будь-якої точки не залежить від вибору цієї точки і дорівнює моменту цієї пари сил.

 Доказ: Виберемо довільно точку О. Проведемо з неї в точки А і В радіусвектори (рисунок 1.28).

Що і потрібно було довести.

 Дві пари сил називаються еквівалентними, якщо їх дія на тверде тіло однакова за інших рівних умов.

Теорема про еквівалентність пар сил. Пару сил, що діє на тверде тіло, можна замінити іншою парою сил, розташованою в тій же площині дії, що має момент, однаковий з першою парою.

Доказ: Нехай на тверде тіло діє пара сил .

Перенесемо силу в точку , а силу - в точку . Проведемо через точки , дві будьякі паралельні прямі, що перетинають лінії дії сил пари. З'єднаємо точки  ,  відрізком прямої і розкладемо сили в точці і  в точці за правилом паралелограма. 

Оскільки , то .

Тому еквівалентна системі а ця система еквівалентна системі , оскільки  еквівалентна нулю.

Таким чином ми задану пару сил замінили іншою парою сил   .

Доведемо, що моменти цих пар сил однакові.

Момент початкової пари сил чисельно дорівнює площі паралелограма АВ, а момент пари сил   чисельно дорівнює площі паралелограма CD . Але площі цих паралелограмів однакові, оскільки площа трикутника AC дорівнює площі трикутника BD.

Що і потрібно було довести.

Висновки:

1 Пару сил як жорстку фігуру можна як завгодно повертати і переносити в її площині дії.

2 У пари сил можна змінювати плече і сили, зберігаючи при цьому момент пари і площину дії.

Теорема про перенесення пари сил в паралельну площину. Дія пари сил на тверде тіло не зміниться від перенесення цієї пари в паралельну площину.

Доказ: Нехай на тверде тіло діє пара сил в площині . З точок додатку сил А і В опустимо перпендикуляри на площину і в точках їх перетину з площиною  прикладемо дві системи сил   і, кожна з яких еквівалентна нулю.

Складемо дві однакові і паралельні сили і . Їх рівнодіюча паралельна цим силам, дорівнює їх сумі і прикладена посередині відрізка A в точці О.

Складемо дві однакові і паралельні сили і . Їх рівнодіюча паралельна цим силам, дорівнює їх сумі і прикладена посередині відрізка B в точці О.

Оскільки , то система сил (, ) еквівалентна нулю і її можна відкинути.

Таким чином пара сил еквівалентна парі сил , але лежить в іншій, паралельній площині. Що і потрібно було довести.

Слідство: Момент пари сил, що діє на тверде тіло, є вільний вектор.

Дві пари сил, що діють на одне і те ж тверде тіло еквівалентні, якщо вони мають однакові по модулю та напряму моменти.

Теорема про складання пар сил. Дві пари сил, що діють на одне і те ж тверде тіло, і які лежать в пересічних площинах, можна замінити однією еквівалентною парою сил, момент якої дорівнює сумі моментів заданих пар сил.

Доказ: Нехай є дві пари сил (рисунок 1.31), розташовані в пересічних площинах. Пара сил  в площині характеризується моментом , а пара сил в площині характеризується моментом .

 

Розташуємо пари сил так, щоб плече пар було загальним і розташовувалося на лінії перетину площин. Складаємо сили, прикладені в точці А і в точці В.

Отримуємо пару сил

 Що і потрібно було довести.

Умови рівноваги пар сил

Якщо на тверде тіло діє декілька пар сил, як завгодно розташованих в просторі, то послідовно застосовуючи правило паралелограма до кожних двох моментів пар сил, можна будь-яку кількість пар сил замінити однією еквівалентною парою сил, момент якої дорівнює сумі моментів заданих пар сил.

Теорема. Для рівноваги пар сил, прикладених до твердого тіла, необхідно і достатньо, щоб момент еквівалентної пари сил дорівнював нулю.

Теорема. Для рівноваги пар сил, прикладених до твердого тіла, необхідно і достатньо, щоб алгебраїчна сума проекцій моментів пар сил на кожну з трьох координатних осей дорівнювала нулю.

1.7 Приведення сили до заданого центру. Приведення системи сил до заданого центру. Умови рівноваги просторової системи сил

Приведення сили до заданого центру

Рівнодіюча системи сил, що сходяться, безпосередньо знаходиться за допомогою складання сил за правилом паралелограма. Очевидно, що аналогічну задачу можна буде вирішити і для довільної системи сил, якщо знайти для них метод, що дозволяє перенести всі сили в одну точку.