де  М_х – згинальний момент у дослідному перерізі, Н×мм; 

у_j – координата відносно нейтральної лінії в j-ій точці перерізу, мм;

J_н.л. – осьовий момент інерції перерізу відносно нейтральної  лінії, мм⁴.

Через те, що головні напруження залежать як від нормальних σ так і від дотичних τ напружень, то перевірці міцності підлягає той елемент балки, для якого σ і  τ будуть одночасно можливо великими.

Експериментальна установка. Експериментальне дослідження головних напружень при поперечному згині проводять на універсальному стенді з  використанням лабораторного обладнання, схема якого наведена на рисунку 3.5. Відмінність полягає у тому, що тепер тензодатчики 9 підключені у трьох точках (по два у кожній точці), у перерізі балки, де вона зазнає поперечного згину. Схема підключення тензодатчиків наведена на рисунку 3.10.

Принцип роботи установки, та послідовність проведення досліду така ж сама, як і у лабораторній роботі 3.1.

Розрахунковий проліт балки складає 900 мм, відстань від правої опори до перерізу, де підключені тензорезистори, а = 200мм. Силу прикладають посередині балки за допомогою гвинтового пристрою (рис. 3.6), який розподіляє навантаження на 2 точки, відстань між якими складає 300мм.  Відстань між точками прикладання сил і опорами також складає по 300мм з кожної сторони. Навантаження утворюють за допомогою індикатора годинникового типу, шток якого повинен торкатися коромисла (рис. 3.5, поз. 5). Перед початком роботи встановлюють індикатор на нуль, підключають тензорезистори до вимірювача деформацій. За допомогою тарирувального графіка переводять значення навантаження у показники індикатора і послідовно навантажують балку трьома рівнями навантаження 1кН, 2кН, 3кН. При кожному рівні навантаження знімають показники з вимірювача деформацій ИДЦ-1 для всіх тензорезисторів. За даними експерименту розраховують головні напруження   і   для кожної дослідної точки перерізу балки.

Головні напруження 

 і 

де a – ціна одиниці дискретності ВД, a = 2,4×10^-6;

 Е – модуль пружності алюмінієвої балки, МПа;

 m – коефіцієнт Пуасона, m = 0,34;

 D1_срj, D2_срj – відповідно середні значення головних деформацій у j-ій  точці перерізу на першому і другому тензорезисторі.

Оснащення робочого місця

v  лабораторна установка – балка з підключеними тензорезисторами в зоні поперечного згину;

v  індикатор годинникового типу ИЧ-10;

v  цифровий тензорезисторний вимірювач деформацій ИДЦ-1;

v  методичні вказівки з виконання лабораторної роботи;

v  калькулятор, олівець, лінійка;

v  журнал лабораторних робіт.

Порядок проведення досліджень

Для експериментального визначення головних напружень використовують алюмінієву балку двотаврового перерізу №10 довжиною ℓ = 900мм, яка вільно лежить на двох опорах. Балка має наступні данні:

-      ширина перерізу b = 38 мм;

-      висота перерізу h = 100 мм;

-      осьовий момент інерції перерізу І_н.л. = 516913 мм⁴;

-      статичний момент площі частини перерізу розташованої вище нейтральної лінії у точках I і ІІІ: S_I = S_III = 4825 мм³;

-       статичний момент площі частини перерізу відносно нейтральної лінії у точці ІІ: S_II = 6050 мм³;

-      матеріал балки – Д16Т ГОСТ 8617-81;

-      модуль пружності матеріалу (алюміній) Е = 0,7·10⁵ МПа.

Лабораторна робота проводиться у такій послідовності:

1.  Розглянути схему пристрою для проведення експерименту, ознайомитись з принципом її роботи.

2.  Встановити балку на шарнірні опори. Перед початком роботи встановити нуль на індикаторі, підключити тензорезистори до вимірювача деформацій.

3.  За допомогою тарирувального графіка перевести значення навантажень у показники індикатора.

4.  Навантажити балку трьома рівнями навантаження та зняти показники з вимірювача деформацій ВД для всіх тензорезисторів.

5.  Підрахувати середню різницю Δi_ср по кожному тензорезисторові для ступеня навантаження ∆F = 1кН.

6.  За даними експерименту розраховати головні напруження  і   для кожної дослідної точки перерізу балки. Результати занести у таблицю 3.2.

7. Побудувати епюри поперечних сил Q_у  та згинальних моментів M_X. Визначити значення згинального моменту в зоні поперечного згину:

8. Визначити значення напружень для кожної точки, де підключено тензодатчики теоретичним шляхом. Результати занести до таблиці 3.2.

10.       Зробити висновки та відповісти на контрольні запитання.

11.  Захистити лабораторну роботу у викладача.

Тестові запитання для самоконтролю

1.  Деформація, що виникає при сумісній дії поперечної сили та згинального моменту  називається:

поперечним згином;

чистим згином;

поздовжнім згином.

2.  Напруження, що діють по головним площинам називають:

головними;

дотичними;

повними.

3.  За якою формулою визначають дотичні напруження?

за формулою Журавського;

за формулою Ясинського;

за формулою Ейлера.

4.  Закон Гука для пластичних деформацій при згині має вигляд:

5.  У якості дослідної балки обрано двотавр номер:

№10;

№20;

№100.

6.  Як позначається осьовий момент інерції перерізу відносно нейтральної лінії?

7.  В яких точках поперечного перерізу балки при згині нормальні напруження приймають максимальні значення?

в крайніх точках перерізу;

в середній точці перерізу;

мають постійне значення по всьому перерізу.

8.  При згині зовнішніми силовими факторами є:

зосереджені сили, пари сил і розподілені навантаження;

поздовжні сили і розподілені навантаження;

скручувальні моменти і зосереджені сили.

9.  При згині внутрішніми силовими факторами є:

поперечні сили і згинальні моменти;

поздовжні сили і нормальні напруження;

крутильні моменти і згинальні моменти.

10.  Які вимірювальні прилади використовують для визначення деформацій при згині?

цифровий вимірювач деформацій (ИДЦ-1);

індикатор годинникового типу (ИЧ-10);

кутомір.

11.  За допомогою якого вимірювального приладу утворюють навантаження балки при поперечному згині:

індикатора годинникового типу (ИЧ-10);

вимірювача деформацій (ИДЦ-1);

кутоміру.

12.  Як теоретично визначити значення головних напружень у j-ій точці перерізу балки:

13.  Який вигляд має формула Журавського?

14.  Чому дорівнює проліт між опорами двотаврової балки?

900мм;

200мм;

100мм.

15.  На якій відстані від правої опори до перерізу підключені тензорезистори?

200мм;

300мм;

400мм.

16.  Як дослідним шляхом визначити головні напруження при поперечному згині?

17.   Закон розподілу нормальних напружень по висоті перерізу балки має вигляд:

18.  У скількох точках поперечного перерізу підключено тензорезистори?

у 3-х точках;

у 2-х точках;

у 6-х точках.

19.  Яка відстань між точками підключення тензорезисторів?

25мм;

50мм;

80мм.

20.  Скільки тензорезисторів підключено до перерізу балки?

6 тензорезисторів;

3 тензорезисторів;

1 тензорезистор.

3.3. Лабораторна робота

ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНЕ ВИЗНАЧЕННЯ ДЕФОРМАЦІЙ ПЕРЕРІЗІВ БАЛКИ

Мета роботи: визначити експериментальним шляхом прогин і кути повороту перерізів балки та порівняння їх значення з теоретичними.

Короткі теоретичні відомості

Для елементів конструкцій та деталей машин дуже важливе значення має їх жорсткість. У багатьох випадках для деяких деталей машин (газорозподільні вали, проміжні вали коробок передач, задні мости, осі та інші), які приймають згинальні навантаження, розрахунок на жорсткість не менш важливий, ніж розрахунок на міцність.

Значні прогини валів призводять до порушення зчеплення в зубчастій передачі, недопустимого перекосу кілець підшипників у місцях опирання валів, що сприяє передчасному спрацьовуванню зубчастих коліс і шестерень та швидкому виходу з ладу підшипників. Якщо балка під навантаженням значно прогинається, то можуть виникнути її коливання з великими амплітудами і, як наслідок, великі додаткові напруження. Тому, виконуючи відповідні розрахунки на жорсткість, завжди потрібно вибирати такі поперечні розміри елемента, щоб пружні деформації не перевищували допустимих.

Деформація балки при згині характеризується для кожного перерізу з координатою x лінійними і кутовими переміщеннями (рис. 3.11):

Ø  Прогин – переміщення центра ваги перерізу балки у напрямку, перпендикулярному до осі балки

Ø  Кут повороту перерізу балки – кут, на який повертається переріз відносно свого початкового положення або кут нахилу нормалі перерізу балки до її поздовжньої осі.

Найбільший прогин балки називається стрілою прогину.

Закономірність зміни прогинів уздовж осі балки визначає форму зігнутої осі. Прогини і кути повороту за умови, що переміщення істотно менше довжини балки, пов’язані між собою диференціальним співвідношенням:

Величина найбільшого прогину може служити мірилом того, наскільки викривляється форма конструкції під дією зовнішніх сил. З метою збереження з’єднань частин балок від розхитування і зменшення коливань під дією рухомого навантаження обмежують величину найбільшого прогину балки під навантаженням.

Величина прогину і кута повороту можуть бути знайдені шляхом рішення наближеного диференціального рівняння зігнутої осі:

 

Існує декілька методів визначення деформацій.

1. Аналітичний – інтегруванням наближеного диференційного рівняння (3.16) зігнутої осі (пружної лінії) балки:

Інакше можна записати рівняння зігнутої осі балки (3.16) так:

До аналітичного методу належить метод початкових параметрів, відповідно до якого задають початкові параметри і вирішують рівняння пружної лінії балки.

2. Енергетичний метод – заснований на визначенні потенційної енергії деформації згину з використанням теореми Кастильяно – похідна потенційної енергії U по силі F дорівнює прогину балки, а по згинальному моменту М – куту поворота.

До енергетичного методу належать два способи:

·     інтеграл Максвела-Мора;

·     спосіб Верещагіна.

А.Н. Верещагін у 1924 р. запропонував свій спосіб для обчислення інтеграла Мора: спосіб перемноження епюр Верещагіна для прямого стержня постійного поперечного перерізу.

Прогин і кут повороту перерізу балки за способом Верещагіна визначається за формулами:

 

де ω_i – площа епюри згинальних моментів від зовнішніх навантажень (вантажної епюри), H·мм²;

М_сі – довжина ординати на епюрі згинальних моментів від одиничного навантаження під центром ваги вантажної епюри, мм;

М^/_сі – довжина ординати на епюрі згинальних моментів від одиничного моменту  під центром ваги вантажної епюри, б/р;

E·J_н.л. – жорсткість балки, Н·мм².

Зауважимо, що при проведенні практичних вимірів буває зручніше визначати не нахил нормалі перерізу до нейтральної осі, а рівний йому нахил нормалі балки (позначений на рис. 3.11, як n) до перпендикуляру нейтральної осі.

Експериментальна установка. Експериментальне визначення переміщень перерізів балки проводять на універсальному стенді, закріплюючи на силовій плиті відповідне лабораторне обладнання. Схема і зовнішній вигляд лабораторної установки наведені на рисунку 3.12.

Порівняно гнучка балка, зазвичай прямокутного перерізу, спирається на дві опори 2 і 3, що закріплені болтами в Т-подібному пазу силової плити. Розрахунковий проліт балки складає ℓ = 600 мм.

На опорах змонтовані підшипникові вузли 4 і 5 досліджуваної балки, що дозволяє їй вільно повертатися на опорах.

Посередині балки, де необхідно вимірювати прогин розміщується підвіска 12 з вантажем 11. Відстань від опор до місця прикладення навантаження ℓ/2 = 300 мм. Навантаження балки здійснюється додаванням одного, двох або більше зосереджених вантажів 11. У місці вимірювання прогину (точка К) на плиті 1 столу закріплена стійка з індикатором годинникового типу 6, який дозволяє визначати лінійні переміщення перерізів або прогини. 

В опорах балки, які на розрахунковій схемі позначені точками А і В розташовані стояки з індикаторами 7 і 8, вимірювальні штифти яких впираються в упорні п'ятаки стержнів 9 і 10. Стержні жорстко з’єднані з досліджуваною балкою. За допомогою стрілочних індикаторів, визначаються кутові переміщення опорних перерізів балки.

Індикатори зазвичай мають ціну поділки 0,01 мм і межі вимірювань лінійних переміщень від 0 до 10 мм. Перед початком роботи встановлюємо їх на нуль.

Кути повороту опорних перерізів визначаються за показниками індикаторів 7 і 8, як tg α. Відомо, що тангенси малих кутів дорівнюють самому куту:

Оснащення робочого місця

v  лабораторна установка підготовлена до проведення експерименту;

v  стальний зразок у вигляді балки прямокутного перерізу (матеріал – сталь 65Г-Ш ГОСТ 1050-88);

v  три індикатори годинникового типу;

v  вантажі вагою у 1 кг;

v  методичні вказівки до виконання лабораторної роботи;

v  калькулятор, олівець, лінійка;

v  журнал лабораторних робіт.

 

Порядок виконання роботи

Для експериментального визначення головних напружень використовують стальну балку прямокутного перерізу довжиною ℓ = 600мм, яка лежить на двох опорах. Балка має наступні данні:

-      ширина перерізу b = 30 мм;

-      висота перерізу h = 4 мм;

-      матеріал балки – сталь 65Г  ГОСТ 1050-88;

-      модуль пружності матеріалу Е=2·10⁵ МПа.

Лабораторна робота проводиться в такій послідовності:

1.  Розглянути схему пристрою для проведення експерименту, ознайомитись з принципом її роботи.

2.   Перевірити готовність установки до експерименту, встановити індикатори годинникового типу на нульову відмітку.

3.   Встановити підвіску у центрі прольоту і повільно прикладати навантаження.  Зняти показники з трьох індикаторів одночасно і підрахувати різницю показань відповідно приросту навантаження ∆F. Результати записати в журнал спостережень (табл. 3.3).

4. За різницею показань визначити вертикальне переміщення центру ваги перерізу в середині прольоту і кут повороту опорних перерізів відповідно до приросту навантаження ∆F. Результати записати у журнал спостережень (табл. 3.3).

5.  Визначити кут повороту, як тангенс кута відхилення стояка. Отримані значення кутів повороту записуємо в журнал спостережень (табл. 3.3).

6.  Розрахувати прогин і кут повороту теоретичним шляхом, використовуючи спосіб Верещагіна. Результати записуємо в журнал спостережень (табл. 3.3).

7. Порівняти результати теоретичних і експериментальних розрахунків.

 

8. Зробити висновки та відповісти на контрольні запитання.

9. Захистити лабораторну роботу у викладача.

 

Тестові запитання для самоконтролю

1.  Які деформації перерізів визначають у балках при згині?

прогин та кут повороту;

поздовжні деформації;

поперечні деформації;

відносні деформації.

2.  Як експериментально визначалась деформація прогину балки?

за допомогою індикатора;

за допомогою лінійки;

за допомогою мікрометра;

за допомогою штангенциркуля.

3.  Як експериментально визначався кут повороту перерізу балки?

розраховувався тангенс кута повороту перерізу при замірюванні горизонтальної деформації ричага;

за допомогою лінійки;

за допомогою силовимірювача;

за допомогою кутомірів.

4.  Де в експериментальній балці найбільший прогин?

посередині балки;

на лівому опорному перерізі балки;

на правому опорному перерізі балки;

всі перерізи балки мають однаковий прогин.

5.  Де в експериментальній балці найбільший кут повороту перерізу?

на правому та лівому торцевих перерізах балки;

посередині балки;

на правому опорному перерізі балки;

на лівому опорному перерізі балки.

6.  За яким теоретичним способом визначались переміщення перерізів балки?

способом Верещагіна;

інтегралом Мора;

методом початкових параметрів;

за допомогою методу перерізів.

7.  Де треба завантажити експериментальну балку, щоб одержати найбільший прогин?

посередині між опорами;

ближче до середини балки;

біля правого опорного перерізу;

біля лівого опорного перерізу.

8.  Що називають жорсткістю балки при згині?

добуток модуля Юнга та моменту інерції перерізу;

осьовий момент інерції перерізу;

модуль пружності першого роду;

модуль зсуву.

9.  Як можна зменшити прогин балки?

збільшити розміри поперечного перерізу;

зменшити розміри поперечного перерізу;

збільшити довжину балки;

збільшити навантаження.

10.  Чи залежить найбільший кут повороту перерізу балки від точки прикладення навантаження?

залежить;

не залежить;

 змінний для даної балки;

постійний для даної балки.

11.  В яких одиницях визначається кут повороту?

радіан;

мм;

кН;

МПа.

12.  Яка величина найбільше впливає на значення прогину балки?

довжина балки;

величина навантаження;

матеріал балки;

площа перерізу балки.

13.  Від яких параметрів балки залежать деформація її перерізів?

довжини балки і розмірів поперечного перерізу;

площі поперечного перерізу балки;

висоти поперечного перерізу балки;

товщини поперечного  перерізу балки.

14.  В якому перерізі треба прикласти одиничну силу при теоретичному визначенні найбільшого прогину експериментальної балки способом Верещагіна?

там, де треба визначити прогин;

в опорному кінці балки;

посередині балки;

на краю балки.

15.  В якому перерізі треба прикласти одиничний момент при теоретичному визначенні найбільшого кута повороту перерізу експериментальної балки способом Верещагіна?

над правим, або лівим опорним перерізом балки;

там, де прикладене звичайне навантаження балки;

посередині балки;

там, де визначається прогин балки.

 

3.4. Лабораторна робота

СТАТИЧНО НЕВИЗНАЧЕНІ  БАЛКИ.  ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНЕ ВИЗНАЧЕННЯ ОПОРНОЇ  РЕАКЦІЇ  “ЗАЙВОЇ” НЕВІДОМОЇ

МЕТА РОБОТИ: експериментально і теоретично визначити опорну реакцію «зайвої» невідомої для статично невизначеної балки.

Короткі теоретичні відомості

Часто за умов роботи конструкції необхідно, наприклад, зменшити прогин балки АВ (рис. 3.14, а) поставивши додаткову опору ще й посередині, або зменшити деформацію балки, закріпленої одним кінцем (рис. 3.14, б), поставивши на вільному кінці опору. У таких випадках кількість опорних реакцій буде перевищувати кількість рівнянь статики і силові фактори в елементах таких конструкцій не можна визначити тільки з рівнянь рівноваги абсолютно твердого тіла.

Такі системи називають статично невизначними.

Статична невизначеність системи виникає за наявності в ній зайвих зв’язків, тобто зв’язків, яких вона не потребує для збереження своєї геометричної незмінності і збереження рівноваги. «Зайвою» невідомою називають реакцію відкинутого зв’язку. За «зайву» невідому можна прийняти будь-яку реакцію в статично невизначеній балці.

Статично невизначеною вважається така балка, для якої реакції не можуть бути визначені за допомогою рівнянь рівноваги. Різниця між кількістю невідомих реакцій і кількістю незалежних рівнянь статики визначає ступінь статичної невизначеності, тобто вона дорівнює кількості додаткових зв’язків (по відношенню до кількості необхідних для фіксування балки, як жорсткого тіла), накладених на балку:

де н – кількість невідомих реакцій;

     р – кількість рівнянь статики.

Як що зусилля (реакції зв’язків) не можна знайти за допомогою рівнянь статики, то треба скласти додаткові рівняння, так звані умови сумісності деформацій, які з урахуванням рівнянь рівноваги дають змогу встановити всі опорні реакції.

Статично невизначені системи мають декілька характерних особливостей:

v Статично невизначена система через наявність додаткових зайвих зв’язків, у порівнянні з відповідною статично визначеною системою виявляється більш жорсткою.

v Руйнування зайвих зв’язків у навантаженому стані, не веде до руйнування всієї системи в цілому.

v У статично невизначених системах виникають менші внутрішні зусилля, що визначає їх економічність в порівнянні зі статично визначними системами при однакових зовнішніх навантаженнях.

v При розрахунку статично невизначених систем необхідно заздалегідь вибрати матеріал конструкції, так як необхідно знати його модулі пружності.

Вирішують такі системи шляхом складання так званої «основної системи», тобто «додаткові зв’язки» усуваються і балка стає статично визначеною. Відкинуті зв’язки замінюються відповідними зусиллями. Величина цих зусиль повинна бути такою, щоб обмеження, які накладалися на лінійні і кутові переміщення балки відкинутими зв’язками, виконувалися, тобто дотримувалися умови нерозривності деформацій (додаткове рівняння сумісності деформацій). При виконанні цих умов система стає еквівалентною до початкової. Для нескладних балок рівняння нерозривності деформацій складаються із застосуванням способу Верещагіна:

де ω_i – площа епюри згинальних моментів від зовнішніх навантажень (вантажна епюра), Н∙мм²;

М_Сi – довжина ординати на епюрі згинальних моментів від одиничного навантаження під центром ваги вантажної епюри, мм;

E∙I_н.л. – жорсткість балки, Н×мм².

Якщо основну систему створити видаленням опори C (рис. 3.15), то в точці її розташування виникне деякий прогин. Для того, щоб зробити основну систему еквівалентною до початкової, в точці С необхідно прикласти таку зосереджену силу, яка б усунула цей прогин. В цьому випадку можна вважати, що прикладена зосереджена сила відповідає невідомої реакції R_С.

Таким чином, вимірявши величину прикладеної в точці C сили F, можна розрахувати невідому реакцію R_С статично невизначеної балки. Після цього балка стає статично визначеною і інші опорні реакції знаходяться традиційними методами статики (складанням силових і моментових рівнянь рівноваги).

Експериментальна установка. Експериментальне визначення зайвої невідомої проводять на універсальному стенді закріплюючи на силовій плиті відповідне лабораторне обладнання (рис. 3.16).

 

Установка складається з опорних стояків 2 і 3, закріплених в Т-подібному пазу силової плити 1 болтами. У стояку 2 закріплений підшипниковий вузол 4, а на стояк 3 спирається підшипниковий вузол 5 досліджуваної балки, які дозволяють їй вільно повертатися на опорах (рис. 3.17). Для досліджень використовують балку прямокутного перерізу.

У заданому місці розташування проміжної опори розміщена силова гвинтова стійка 6, яка з’єднана через підвіс і сергу з балкою 9.

На вільному перерізі балки встановлена серга з підвіскою для вантажу 11, за допомогою якого до балки прикладається зусилля. Відстань від опори до місця прикладення навантаження складає а = 200 мм. Навантаження балки проводиться повільно.  При цьому максимальний прогин буде у середині балки в точці С, де і потрібно встановити додаткову опору. Індикатор годинникового типу 10, що контролює прогин балки в точці розташування проміжної опори повинен бути настроєним на нульову відмітку.

У разі, коли до балки прикладається зусилля, що забезпечує відсутність прогину в даній точці, можна вважати, що величина цього зусилля відповідає опорній реакції.

Додаткове навантаження прикладається у місці встановлення індикатора, переміщенням вантажу по розвантажувальному барабану поки балка не повернеться у початкове положення. При цьому стрілка індикатора повинна знову стати у нульове положення. За спеціальною шкалою навантажувального пристрою знімається величина додаткового навантаження, яке дорівнює величині опорної реакції R_С. Слід зауважити, що на розвантажувальному барабані 1 поділка відповідає  навантаженню у 2Н (1 поділка = 2Н).

Оснащення робочого місця

v лабораторна установка, підготовлена до проведення експерименту;

v індикатор годинникового типу ИЧ-10;

v стальний зразок у вигляді балки прямокутного перерізу (матеріал – сталь 65Г-Ш ГОСТ 1050-88);

v гирьова підвіска з вантажем 20 Н;

v методичні вказівки до виконання лабораторної роботи;

v калькулятор, олівець, лінійка;

v журнал лабораторних робіт.

 

Порядок виконання роботи

Для експериментального визначення головних напружень використовують стальну балку прямокутного перерізу довжиною ℓ = 600мм, яка лежить на двох опорах і має консоль, що відстроїть від опори на 200мм.

Лабораторна робота проводиться у такій послідовності:

1.  Скласти розрахункову схему статично невизначної балки.

2. Теоретичним шляхом, користуючись способом Верещагіна і методикою розрахунку статично невизначних балок, визначити чисельне значення «зайвої» невідомої (реакції відкинутого зв’язку) у місці розташування проміжної опори «С». Результат занеси у таблицю 3.4.

3. Встановити індикатор годинникового типу у точці визначення опорної реакції і налаштувати його на нульову відмітку.

4. Встановити підвіску у крайньому лівому перерізі консольної частини балки і повільно навантажити балку силою F = 20 кН.

5. Прикладаючи на вільному кінці балки навантаження, одночасно слідкувати за показаннями індикатора.

6. У місці встановлення індикатора прикласти додаткове навантаження, величина і напрямок якого забезпечить повернення балки у початкове положення (стрілка індикатора повинна знову стати у нульове положення).

7. Зафіксувати нульове положення індикатора. За спеціальною шкалою розвантажувального пристрою зняти величину додаткового навантаження, яке дорівнює величині опорної реакції R_С.

8. Результати експериментальних досліджень записати у таблицю 3.4.

9. Порівняти отримані результати реакції відкинутого зв’язку R_С, визначених теоретичним і експериментальним шляхом.

10. Зробити висновки та відповісти на контрольні запитання.

11. Захистити лабораторну роботу у викладача.

Тестові запитання для самоконтролю

1.  Що таке статично невизначена балка?

балка, у якої кількість опорних реакцій більше кількості рівнянь рівноваги;

балка, у якої кількість опорних реакцій менше кількості рівнянь рівноваги;

балка, де однакова кількість опорних реакцій та рівнянь рівноваги.

2.  Скільки прольотів повинна мати балка із шарнірними опорами, щоб вона була один раз статично невизначеною?

два прольоти;

один прольот;

чотири прольоти.

3.  Скільки разів статично невизначена балка з трьома шарнірними опорами?

один раз;

два рази;

три рази.

4.  Скільки разів статично невизначена балка с шарнірною опорою і жорстким закріпленням?

один раз;

два рази;

три рази.

5.  Що таке «зайва» невідома?

невідома реакція, що виникає при звільнені балки від опори;

реакція балки, що виникає в опорах балки;

реакція балки, що визначається останньою з рівнянь рівноваги.

6.  Що називають основною системою балки?

балку звільнену від зовнішнього навантаження  та від «зайвої» опори;

балку без зовнішнього навантаження;

балку з усіма навантаженнями.

7.  Що називають еквівалентною системою балки?

балку навантажену зовнішніми силами та «зайвою невідомою»;

балку звільнену від «зайвої невідомої» та без зовнішнього навантаження;

балку з навантаженням.

8.  Яку реакцію двохпрольотної балки з трьома шарнірними опорами можна взяти як «зайву»?

будь-яку з трьох;

тільки в лівій опорі;

тільки в правій опорі.

9.  Яким теоретичним способом у роботі визначали прогини перерізів балки?

способом Верещагіна;

інтегралом Мора;

методом початкових параметрів.

3.5. Лабораторна робота

ВИЗНАЧЕННЯ НАПРУЖЕНЬ І ДЕФОРМАЦІЙ

ПІД ЧАС КОСОГО ЗГИНУ

Мета роботи:  визначити дослідним шляхом величину напружень у точці контрольного перерізу та величину й напрямок переміщення вільного кінця балки при косому згині і порівняти експериментальні дані з теоретичними.

Короткі теоретичні відомості

Часто площина дії зовнішніх сил і моментів не збігається ні з однією з головних осей інерції поперечного перерізу балки, у цьому випадку напрямок переміщення не співпадає з площиною прикладання зовнішніх сил. Такий вид деформації називається косим згином (рис. 3.18). Він відноситься до складного виду: в поперечних перерізах балки виникають поперечні сили і згинальні моменти відносно головних осей інерції Х і Υ поперечного перерізу балки. Тому косий згин можна розглядати як сполучення двох плоских згинів.

Головними площинами балки називаються площини, що проходять через поздовжню вісь балки і головні центральні осі інерції поперечних перерізів.

Розглянемо навантаження жорстко закріпленого стержня прямокутного поперечного перерізу (рис. 3.19, а),  у якого ширина прямокутника – b, висота – h,  довжина стержня – ℓ. Осі симетрії х і Y є головними центральними осями інерції поперечних перерізів.

На торці стержня під кутом α діє сила F, прикладена в центрі ваги цього  перерізу. Силу F можна розкласти на дві складові: F_х і F_у, лінії дії яких паралельні відповідно до осей х і Y. При цьому:

У результаті ми приходимо до схеми навантаження стержня, зображеної на рис. 3.19, б.

На підставі принципу незалежності дії сил при пружному деформуванні наведену схему навантаження можна представити як суму двох прямих згинів у головних площинах. Тому в будь-якому поперечному перерізі балки згинальний момент M_зг, розкладається на складові M_x і M_y, що згинають балку відносно осей х і Y. Їх величини визначаються так:

 

де  M – згинальний момент у площині дії сили F; Н·м;

F – навантаження на вільному кінці балки, Н;

ℓ – відстань від точки прикладення сили F до заданої точки (контрольний переріз).

Напруження. У будь-якій точці перерізу бруса з координатами х і у виникають нормальні напруження від кожного зі складових згинального моменту M_x і M_y (рис. 3.20). Використавши спосіб додавання сил,нормальне напруження в цьому перерізі  знаходимо за формулою:

де  x, y – координати точки де визначаються напруження, мм;

    Jx, Jy – відповідно осьові моменти інерції відносно осей Y та X. Для прямокутного перерізу (рис. 3.19) із заданими розмірами b і h визначаються за формулами:

 

 

 

Із формули (3.28) витікає, що при косому згині в загальному випадку, коли , нейтральна вісь не перпендикулярна силовій площині.

Теоретичне значення кута β визначається за формулою:

Із формули (3.29) видно: якщо  то тобто нульова лінія і лінія дії сили F взаємно перпендикулярні.

Переміщення. Переміщення (прогин) будь-якої точки поперечного перерізу при косому згині f є векторною сумою переміщень (прогинів) від згинів у горизонтальному f_x і вертикальному f_y напрямках (рис. 3.21):

У кожному конкретному випадку прогини у вертикальному і горизонтальному напрямках розраховуються за стандартними методиками, як для прямого згину (наприклад, способом Верещагіна).

У цій лабораторній роботі досліджується консольна балка, жорстко закріплена одним кінцем і завантажена на вільному кінці зосередженою силою. Для неї найбільші прогини будуть на кінці консолі. Вони визначаються за формулами:

де F – навантаження на балку, Н;    

     L – довжина балки, між жорстким закріпленням і ділянкою прикладення сили, L = 700мм;

Е – модуль пружності матеріалу балки, Е = 2×10⁵…2,15×10⁵  Н/мм²;

α – кут між напрямком площини дії сил (вертикальною площиною) і площиною, сполученою з напрямком головної осі У, задається викладачем.

Виходячи з рівнянь (3.31) і  (3.32) при косому згині напрямок повного переміщення (рис. 3.21) визначається як

тобто при косому згині у загальному випадку, коли J_х ≠ J_y, повні переміщення не лежать в силовій площині (як кажуть, балку «веде»).

по довжині всієї балки є постійним, пружна лінія розташовується в одній площині – площині згину.

Отже, прогин балки відбувається не в площині дії зовнішніх навантажень, а в площині, перпендикулярній до нейтральної лінії.

Експериментальна установка.  На рисунку 3.22, а показано  обладнання для проведення лабораторної роботи. Воно складається з опорного стояка 2, що закріплений в Т-подібному пазу силової плити 1 болтовими з’єднаннями, на якому кріпиться дослідна консольна балка прямокутного перерізу 3 (рис. 3.22, б). Балка повернута в стояку 2 на заданий кут α і зафіксована в такому положенні. На кінці балки є підшипниковий вузол 4, через який за допомогою підвісу 5 вона навантажується вантажами 6.

У перерізі балки поблизу закріплення, на бічних гранях наклеєні чотири тензодатчика 10, які з допомогою блоку вимірювання деформацій ВД реєструють деформації, що виникають при навантаженні балки. Тензодатчики № 1-2 і 3-4 наклеєні на протилежних гранях балки (рис. 3.20).

На стояку 7 встановлені два індикатори годинникового типу ИЧ-10, один з яких 8 вимірює переміщення кінця балки у вертикальному напрямку, а другий  9 – в горизонтальному.

Оснащення робочого місця

v лабораторна установка – балка прямокутного перерізу із закріпленими тензодатчикам;

v два індикатори годинникового типу ИЧ-10;

v цифровий тензорезисторний вимірювач деформацій ИДЦ-1;

v методичні вказівки до виконання лабораторної роботи;

v  калькулятор, олівець, лінійка;

v журнал лабораторних робіт.

Порядок виконання роботи

Для проведення експерименту використовують стальну балку прямокутного перерізу довжиною L = 700мм (рис. 3.23,а). Балка має наступні дані:

-      ширина перерізу b = 12 мм;

-      висота перерізу h = 24 мм;

-      матеріал балки - сталь 45  ГОСТ 1050-88;

-      модуль пружності матеріалу Е = 2·10⁵ МПа.

Лабораторна робота проводиться у такій послідовності:

    1. Встановити задане значення положення силової площини по відношенню до вертикальної осі (кут α) шляхом повороту балки в опорному стояку і зафіксувати її в такому положенні стопорним пристроєм (рис. 3.23,б).

 

2..На балку встановити індикатори годинникового типу у напрямках осей х і Y. Шкали обох індикаторів переміщень вивести на нуль.

3.Підключити тензодатчики у заданому перерізі балки, які знаходяться в зоні косого згину та увімкнути вимірювач деформацій.

4.При відсутності зовнішнього навантаження зареєструвати показники тензорезисторів № 1, 2, 3, 4, які розглядаються в подальшому як вихідні – «умовний нуль». Результати занести в журнал спостережень (табл. 3.5).

5.Провести послідовне навантаження балки вантажами 10, 20, 30Н. Зняти відповідні показники з вимірювача деформацій А₁ і А₂ та індикаторів переміщень D_y та D_x. Визначити повний прогин f_е балки:

 

Результати занести в журнал спостережень (табл. 3.5).

6.Визначити експериментально напруження в точках розташування тензорезисторів № 1-4, як:

де  a – ціна одиниці дискретності приладу (ВД), a = 2,4×10^-6;

DА₁ і DА₂ – прирощення деформацій у місцях встановлення тензодатчиків для збільшення навантаження DF=10Н, як різниця першого і наступних показань приладу (ВД);

E = 2·10⁵ МПа – модуль поздовжньої пружності матеріалу дослідної балки.

 

7.Визначити повний прогин та напруження в контрольному перерізі теоретичним шляхом та записати у журнал спостережень (табл. 3.5).

8. Порівняти теоретичні та експериментальні значення повного прогину та напруження в контрольному перерізі, визначити розбіжність між отриманими значеннями. Результати порівняння занести в таблицю 3.6.

 9. Зробити висновки та відповісти на контрольні запитання.

 

 10. Захистити лабораторну роботу у викладача.

 

 

 

 

 

3.6. Лабораторна робота

 ТЕОРЕТИЧНЕ ТА ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНЕ ВИЗНАЧЕННЯ КРИТИЧНОЇ СИЛИ ДЛЯ СТИСНУТОГО СТЕРЖНЯ

Мета роботи:  вивчення процесу втрати стійкості при осьовому стиску гнучких стержнів.

Короткі теоретичні відомості

Пружна система може перебувати в стійкому і нестійкому станах рівноваги. Стан рівноваги пружної системи називається стійким, якщо малі зовнішні збурювання викликають малі відхилення системи від цього положення рівноваги, і після припинення дії цих збурень система повертається в початковий стан рівноваги. Стан рівноваги пружної системи називається нестійким, якщо малі зовнішні збурювання викликають великі відхилення системи від цього стану рівноваги і після припинення дії збурень система в початковий стан рівноваги не повертається.

Для багатьох деталей машин, елементів конструкцій і споруд розрахунки на міцність і жорсткість бувають недостатніми, щоб отримати повне уявлення про їх працездатність, виявити, чи знаходиться конструкція або її частина у стані стійкої рівноваги, тому для надійної роботи конструкції необхідно, щоб усі її елементи були як міцними так і стійкими.

Вперше Ейлером було досліджене питання стійкості ідеального стержня: з геометрією без початкових дефектів, ідеальними шарнірними закріпленнями на кінцях та з ідеально пружного матеріалу. Цю задачу він сформулював і розв’язав у 1744 році.

Леонард Ейлер – російський математик і механік, академік Петербурзької академії наук. Народився в Швейцарії, був запрошений до Росії в 20-ти річному віці, де прожив 14 років, потім переїхав до Берліна. Другий раз запрошений у Росію Катериною ІІ, де і прожив до кінця життя. Ейлер зробив істотний внесок у становлення російської науки.

За Ейлером, під втратою стійкості розуміють процес переходу від початкової прямолінійної форми рівноваги між навантаженням і внутрішніми силами до нової зігнутої форми рівноваги.  При цьому припускається, що при збільшенні стискаючого статичного навантаження наступає такий стан пружної системи (байдужа форма рівноваги), коли в той самий час можуть існувати і вихідна і суміжна з нею форма рівноваги. Такий стан пружної системи характеризується роздвоєнням форм рівноваги (біфуркацією).

Критичною силою за Ейлером вважається максимальна стискаюча сила, при якій наступає роздвоєння форм рівноваги пружної системи. Якщо навантаження перевищує критичну силу, то відбувається перехід до нової, зігнутої форми рівноваги (втрата стійкості). Процес втрати стійкості супроводжується розвитком досить великих переміщень пружної системи за короткий час. Лінійна залежність між прирощенням навантаження і переміщенням, що виникає – відсутня. В інженерних конструкція втрата стійкості унеможливлює їх подальшу експлуатацію.

Розглянемо прямолінійний стержень, що знаходиться під дією центрально-прикладеної стискаючої сили F, лінія дії якої співпадає з віссю стержня (рис. 3.24, а). Враховуючи умови закріплення можна прийняти схему стержня з шарнірно-закріпленими кінцями (рис. 3.24, б).

Якщо стержень стиснути силою F, то із зростанням цієї сили стержень спочатку тільки вкорочується, зберігаючи свою прямолінійну форму, а потім настає явище втрати стійкості – стержень викривляється (рис. 3.24, в).

Отже можна знайти таке значення стискаючої сили F_кр, при якому прямолінійна форма рівноваги стає нестійкою.

Якщо F < F_кр, то прямолінійна форма рівноваги стержня стійка. При   F > F_кр, прямолінійна форма рівноваги нестійка. Зміна стійкої форми рівноваги відбувається при F = F_кр.

Відповідно до теорії Ейлера критична сила F_кр для окремого центрально-стиснутого стержня визначається за формулою:

Якщо умови закріплення стержня однакові у всіх поздовжніх площинах, то втрата стійкості відбувається в площині найменшого опору. А це означає, що  у формулі (3.37) використовується найменша величина осьового момента інерції . Наприклад, стержень прямокутного перерізу (рис. 3.23, а) втрачає стійкість  (згинається) в площині ОХZ. У цьому випадку значення мінімального момента інерції, при , визначиться так:

Пізніше, досліджуючи питання втрати стійкості формула Ейлера (3.37) була удосконалена Феліксом Ясинським (ХІХ сторіччя), російським ученим-механіком і інженером, фахівцем у галузі будівельної механіки, професором Петербурзького інституту інженерів шляхів сполучення. Ним було досліджено стійкість за границею пропорційності і встановлена залежність гнучкості стержня від способів закріплення його кінців. На сьогодні формула Ейлера має вигляд:

де μ – коефіцієнт приведеної довжини, який для стержня на шарових опорах (рис. 3.24, б) дорівнює μ = 1;

μ·l – приведена (розрахункова) довжина стержня.

Значення коефіцієнта приведеної довжини µ залежить від умов закріплення стержня і визначається як:

де n – число, що показує кількість довжин півхвиль синусоїди, яка відповідає формі втрати рівноваги стержня (формі зігнутої осі стержня). Для стержня на рисунку 3.24, б: n = 1, а отже μ = 1 .

Фелікс Ясинський також ввів поняття критичних напружень σ_кр та критичної гнучкості, або граничної гнучкості λ_гр.

Отримавши значення критичної сили за формулою Ейлера, можемо визначити критичне напруження, що виникає в момент втрати стійкості:

Із формули 3.41 легко знайти граничну гнучкість. Її значення залежить від властивостей матеріалу і характеристик міцності – границі пропорційності σпц:

Для звичайної конструкційної сталі – λ_гр>100,  для чавуну – λ_гр>80, для дюралюміну – λ_гр>76, для сосни – λ_гр>110.

Розрахункову гнучкість стержня λ можна визначити по формулі:

 

Експериментальна установка. Для проведення досліджень використовуємо лабораторну установку для визначення критичної сили, загальний вигляд якої зображено на рисунку 3.25 (а). Дослідний стержень 1 встановлюємо на шарнірні опори 2 і 3. При чому опора 2 – рухома, а опора 3 – нерухома. По середині зразка, де у наслідок прикладення сили буде максимальний прогин,  встановлюємо індикатори годинникового типу 7 і 8. При проведенні дослідження стискання стержня здійснюється за допомогою навантажувального пристрою через еластичну пружину 4. Обертаючи маховик черв’ячного редуктора 6, повільно навантажуємо балку. Кожні 10 обертів маховика відповідають навантаженню у 22 Н.

В процесі навантаження необхідно слідкувати за індикаторами доки не відбудеться втрата стійкості (стрілка індикатора почне дуже швидко обертатися).

 

Оснащення робочого місця

 

v  установка, підготовлена  до проведення експерименту;

v  2 індикатори годинникового типу;

v  стальний призматичний зразок прямокутного перерізу (матеріал – сталь 65Г-Ш ГОСТ 1050-88);

v  методичні вказівки до виконання лабораторної роботи;

v  калькулятор, олівець, лінійка;

v  журнал лабораторних робіт.

 

Порядок виконання роботи

 

Для експериментального визначення критичної сили використовують стальну балку прямокутного перерізу довжиною ℓ = 500мм, яка встановлена вертикально на двох шарнірних опорах (рис. 3.25).

Балка має наступні дані:

-      ширина перерізу b = 2 мм;

-      висота перерізу h = 35 мм;

-      матеріал балки - 65Г-Ш ГОСТ 1050-88;

-      модуль пружності матеріалу Е = 2·10⁵ МПа.

Лабораторна робота проводиться у такій послідовності:

1.       Перевірити готовність установки до експерименту, виставити індикатори на нульову відмітку.

2.       Визначити геометричні характеристики перерізу – момент інерції відносно осі Y (рис. 3.24) за формулою 3.38.

3.       Визначити гнучкість стержня та граничну гнучкість за формулами (3.42) та (3.43) і порівняти їх значення між собою.

4.       Визначити значення критичної сили за формулою Ейлера (3.39).

5.       Провести експеримент: ступенево навантажити балку, кожного разу на 22Н, ретельно слідкуючи за показниками індикаторів.

Записати показання індикаторів на кожному етапі навантаження в журнал спостережень до того моменту, поки не відбудеться втрата стійкості (табл. 3.7).

9.  Зробити висновки та відповісти на контрольні запитання.

10.      Захистити лабораторну роботу у викладача.

 

Тестові запитання для самоконтролю

1.  Які зразки використовують при випробуванні матеріалів на стійкість?

прямокутного перерізу;

круглого перерізу;

трубчастого перерізу;

квадратного перерізу.

2.  Відхилення стержня від свого рівноважного положення називається:

втратою стійкості;

згином;

крученням;

стиском.

3.  Найменша центрально-прикладена стискаюча сила, що виводить стержень з прямолінійної рівноваги називається:

          критичною силою;

 зовнішньою силою;

 поперечною силою;

 внутрішньою силою.

4.  Які геометричні характеристики використовують при розрахунку стержнів на стійкість:

         площа перерізу А та момент інерції J_н.л.;

         момент опору W_н.л.  та площа перерізу А;

         момент опору W_н.л.  та момент інерції J_н.л.;

         статичний момент площі перерізу S та момент інерції J_н.л.

5.  Як позначається критична сила?

         F_кр;

         Q;

         σ_кр;

         l_кр.

6.  Прямолінійна форма рівноваги гнучкого стержня буде стійкою, якщо:

стискаюча сила F менше критичної F_кр (F < F_кр);

стискаюча сила F більше критичної F_кр   (F > F_кр);

стискаюча сила F дорівнює критичній F_кр  (F = F_кр);

стискаюча сила F більше або дорівнює критичній F_кр  (F ≥ F_кр).

7.  За формулою  Ейлера і Ясинського розраховують  силу:

  критичну;

  допустиму;

  внутрішню;

  розрахункову.   

8.  Здатність стержнів, під дією поперечного навантаження, відхилятись від свого рівноважного положення, а при знятті навантаження приймати свою первісну форму рівноваги називається:

          гнучкістю;

          згином;

          крученням;

          стиском.

9.       Як позначається гнучкість стержня?

          l;

          F;

          τ;

          σ.

10.  Як позначаються критичні напруження?

          σ_кр;

          τ_кр;

          F_кр;

          l_кр.

 

12.  Як позначається коефіцієнт , що залежить від способів закріплення кінців стержня?

 m ;

 l ;

 φ;    

 ℓ.

13.  В яких одиницях вимірюється гнучкість стержня ?

безрозмірна величина;

Н;

м;

МПа.

 

18.  Що означає величина і_min :

мінімальний радіус інерції;

мінімальний момент інерції;

мінімальний статичний момент перерізу;

мінімальний момент опору.

19.  За допомогою чого експериментально визначали значення відхилень стержня від положення рівноваги?

індикаторами годинникового типу;

вимірювачем деформацій;

за допомогою тарирувального графіка;

лінійкою.

20.  Який спосіб закріплення кінців стержня використовували при експериментальному  визначенні критичної сили?

коли коефіцієнт приведеної довжини стержня m = 1;

коли коефіцієнт приведеної довжини стержня m = 2;

коли коефіцієнт приведеної довжини стержня m = 0,7;

коли коефіцієнт приведеної довжини стержня m = 0,5.

21.           За допомогою чого визначали значення критичної сили експериментальним шляхом?

за допомогою діаграми прогинів;

за допомогою діаграми розтягу;

         за допомогою тарирувального графіка;

за допомогою діаграми напружень.

22.  В яких координатах побудовано діаграму прогинів?

F– f;

F–Δℓ;

σ–Δℓ;

σ–ε. 

23.  Яка фізична суть критичної сили?

максимальна сила, при якій стержень втрачає стійкість;

максимальна сила, при якій стержень здобуває стійкість;

мінімальна сила взаємодії між частками;

мінімальна сила тиску.

24.  Якій величині дорівнює гранична гнучкість для сталі?

         λ_гр ≈ 100;

         λ_гр ≈ 80;

         λ_гр ≈ 110;

         λ_гр ≈ 76.

25.  Що іноді називають поздовжнім згином?

втрату стійкості;

згин;

кручення;

стиск.

 

 

3.7. Лабораторна робота

 ДОСЛІДЖЕННЯ ВПЛИВУ СПОСОБІВ ЗАКРІПЛЕННЯ КІНЦІВ СТЕРЖНЯ НА ЙОГО СТІЙКІСТЬ

Мета роботи:  вивчення процесу втрати стійкості при осьовому стиску гнучких стержнів із різними способами закріплення кінців стержня та порівняння їх значень із теоретичними.

Короткі теоретичні відомості

Стійкість – це здатність елемента конструкції опиратися виникненню великих відхилень від положення рівноваги. Тому в деяких випадках, а саме для стиснутих стержнів, крім перевірки на міцність потрібно ще й перевіряти на стійкість за умовою:

φ – коефіцієнт зниження основних допустимих напружень, який залежить від гнучкості стержня, приймає значення у межах 0 ≤ φ ≤ 1.

Процес переходу від прямолінійної форми до зігнутої форми рівноваги називається втратою стійкості стержня.

При досягненні силою, що стискає критичного значення F_кр, стержень втрачає стійкість і відбувається швидке збільшення прогинів при відносно невеликому зростанні сили. Це призводить до різкого збільшення згинальних напружень, що може призвести до руйнування. Втрата стійкості стержня відбувається в площині найменшої згинальної жорсткості.

Деформація згину стержня під дією поздовжньої сили називається поздовжнім згином, тому що саме під дією поздовжніх сил стержень значно викривляється. Поздовжній згин може відбуватися як при пружних, так і при пружно-пластичних деформаціях. Якщо поздовжній згин відбувається при пружних деформаціях, то після припинення дії стискаючої сили розміри і форма стержня повністю відновлюються.

Знаходження критичних навантажень вважається найвідповідальнішою частиною інженерного розрахунку конструкції і дозволяє уникнути втрати стійкості введенням необхідного запасу стійкості.

Під час розрахунку на стійкість критичне навантаження подібне руйнівному, як те, що використовують під час розрахунків на міцність.

Для забезпечення певного запасу стійкості необхідно, щоб задовольнялася умова:

Вперше формулу (3.39) для визначення критичної сили F_кр винайшов Леонард Ейлер – російський вчений швейцарського походження. У цій формулі коефіцієнт приведеної довжини стержня μ залежить від способу закріплення його кінців. Фізична суть коефіцієнта μ полягає у тому, що він показує скільки довжин стержня вміщується в одній напівхвилі синусоїди.

Основні схеми закріплення кінців стержня і, відповідно до них, значення коефіцієнта μ наведені на рисунку 3.27.

Розглянемо визначення критичних напружень. Формула (3.41) для визначення критичних напружень, що виникають у момент втрати стійкості справедлива тоді, коли  не більше границі пропорційності :

Досліджуючи питання стійкість за границею пропорційності Ясинським було отримано формулу, що дозволяє визначити значення критичних напружень в залежності від гнучкості, коли напруження в стиснутому стержні більше границі пропорційності , але менше за границю текучості:

де a і b – коефіцієнти, які залежать від властивостей матеріалу і підбираються так, щоб при гнучкості λ_р = λ_кр, критичне напруження дорівнювало границі пропорційності σ_кр = σ_пц.

 λ– гнучкість стержня (розрахункова), яка визначається за формулою (3.43).

Якщо гнучкість даного стержня буде більша або дорівнювати граничній   λ ≥ λ_гр, то розрахунок критичної сили необхідно вести по формулі Ейлера. Якщо гнучкість стержня буде менша за граничну λ<λ_гр, то розрахунок критичної сили необхідно вести за формулою Ф. Ясинського:

де a і b – коефіцієнти, які залежать від матеріалу і підбираються так, щоб при гнучкості λ_р=λ_кр, критичне напруження дорівнювало границі пропорційності  σ_кр=σ_пц.

     Значення коефіцієнтів a і b для деяких матеріалів наведені в додатку 2.

Експериментальна установка. Для проведення досліджень використовуємо пристрій, в якому можливо змінювати способи закріплення кінців стержня. Навантаження прикладається вручну на універсальному стенді СМУ з горизонтальним розташуванням стержня (рис. 3.28). Опорні пристрої стенду дозволяють здійснювати як шарнірне закріплення стержня, так і жорстке закріплення будь-якого з його кінців. Деформація стержня (прогин) спостерігається візуально.

У даній роботі потрібно визначити величину критичної сили для стиснутого стержня при трьох видах закріплення його кінців:

а) стержень має шарнірні опори на його кінцях, μ =1;

б) один кінець стержня має шарнірну опору, а інший – жорстко закріплений, μ =0,7;

в) один кінець стержня затиснений жорстко, а другий також закріплений, але має можливість переміщення уздовж осі стержня, μ =0,5.

Обертаючи маховик на установці, повільно прикладається навантаження на балку. Навантажуємо за рахунок індикатора з ціною поділки 0,001мм, показники осідання пружини якого переводимо у значення навантажень за допомогою тарирувального графіку. Для кожного способу навантажуємо балку на декількох рівнях і визначаємо момент втрати стійкості по індикатору з ціною поділки 0,01мм, який встановлено посередині балки, у місці максимального прогину.

 

Оснащення робочого місця

v  установка, підготовлена  до проведення експерименту;

v  індикатор годинникового типу з ціною поділки 0,01мм (ИЧ-10) та індикатор з ціною поділки 0,001мм (МИГ-1);

v  стальний призматичний зразок прямокутного перерізу (матеріал – сталь 65Г-Ш ГОСТ 1050-88);

v  методичні вказівки до виконання лабораторної роботи;

v  калькулятор, олівець, лінійка;

v  журнал лабораторних робіт.

 

Порядок виконання роботи

Для експериментального визначення критичної сили використовують стальну балку прямокутного перерізу довжиною ℓ = 500мм, яка встановлена горизонтально на двох опорах (рис. 3.28).

Балка має наступні данні:

-       ширина перерізу b = 2 мм;

-       висота перерізу h = 35 мм;

-       матеріал балки - 65Г-Ш ГОСТ 1050-88;

-       модуль пружності матеріалу Е = 2·10⁵ МПа.

Лабораторна робота проводиться у такій послідовності:

1.  Перед початком досліджень ретельно виміряти розміри поперечного перерізу, та довжину зразка. Визначити геометричні характеристики перерізу.

2.  Розглянути можливі способи закріплення кінців стержня і визначити коефіцієнт приведеної довжини µ.

3.  Для кожного способу закріплення розрахувати теоретичним шляхом гнучкість, граничну гнучкість, порівняти отримані результати і вибрати формулу для розрахунку критичної сили.

4.  Перевірити готовність установки, встановити зразок в опори та перевірити прямолінійність встановлення, виставити індикатори на нульову відмітку.

5.       За допомогою тарирувального графіку визначити значення осідання пружини для заданих рівнів навантаження при різних способах закріплення стержня.

6.       Визначити значення критичної сили експериментальним шляхом.

7.Фіксуємо навантаження у момент втрати стійкості та записуємо його у журнал спостережень (табл. 3.8).

9. Зробити висновки та відповісти на контрольні запитання.

10.    Захистити лабораторну роботу у викладача.

Тестові запитання для самоконтролю

 

1.  Коефіцієнт m, що залежить від способів закріплення кінців стержня називається:

коефіцієнтом приведеної довжини стержня;

коефіцієнтом приведеної ширини  стержня;

коефіцієнтом приведеного діаметра  стержня;

коефіцієнтом приведеної товщини стержня.

2.  Величина µ·ℓ, це:

          приведена довжина стержня;

          приведена ширина стержня;

          приведений діаметр стержня;

          приведена товщина стержня.

3.  В яких одиницях вимірюється коефіцієнт m ?

безрозмірна величина;

Н;

м;

МПа.

4.  При визначенні граничної гнучкості, яку механічну характеристику сталі використовують?

границю пропорційності;

границю текучості;

границю пружності;

границю міцності.

5.  За допомогою чого експериментально визначається значення абсолютного поперечного прогину?

          індикаторами годинникового типу;

          вимірювачем деформацій;

          за допомогою тарирувального графіка;

          лінійкою.

6.  Для яких способів закріплення кінців стержня проводили експериментальне  дослідження критичної сили?

коли m = 1, m =0,7, m =0,5;

коли  m = 2 та  m = 1;

коли  m = 1 та  m = 0,5;

коли  m = 0,7 та m = 0,5.

 

7.  За допомогою чого визначають значення критичної сили експериментальним шляхом?

за допомогою індикатора годинникового типу з ціною поділки 0,001мм;

за допомогою індикатора годинникового типу з ціною поділки 0,01мм;

за допомогою штангенциркуля з ціною поділки 0,1мм;

за допомогою лінійки з ціною поділки 1мм.