3.6. ЛАБОРАТОРНА РОБОТА: ТЕОРЕТИЧНЕ ТА ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНЕ ВИЗНАЧЕННЯ КРИТИЧНОЇ СИЛИ ДЛЯ СТИСНУТОГО СТЕРЖНЯ

Мета роботи:  вивчення процесу втрати стійкості при осьовому стиску гнучких стержнів.

Короткі теоретичні відомості

Пружна система може перебувати в стійкому і нестійкому станах рівноваги. Стан рівноваги пружної системи називається стійким, якщо малі зовнішні збурювання викликають малі відхилення системи від цього положення рівноваги, і після припинення дії цих збурень система повертається в початковий стан рівноваги. Стан рівноваги пружної системи називається нестійким, якщо малі зовнішні збурювання викликають великі відхилення системи від цього стану рівноваги і після припинення дії збурень система в початковий стан рівноваги не повертається.

Для багатьох деталей машин, елементів конструкцій і споруд розрахунки на міцність і жорсткість бувають недостатніми, щоб отримати повне уявлення про їх працездатність, виявити, чи знаходиться конструкція або її частина у стані стійкої рівноваги, тому для надійної роботи конструкції необхідно, щоб усі її елементи були як міцними так і стійкими.

Вперше Ейлером було досліджене питання стійкості ідеального стержня: з геометрією без початкових дефектів, ідеальними шарнірними закріпленнями на кінцях та з ідеально пружного матеріалу. Цю задачу він сформулював і розв’язав у 1744 році.

Леонард Ейлер – російський математик і механік, академік Петербурзької академії наук. Народився в Швейцарії, був запрошений до Росії в 20-ти річному віці, де прожив 14 років, потім переїхав до Берліна. Другий раз запрошений у Росію Катериною ІІ, де і прожив до кінця життя. Ейлер зробив істотний внесок у становлення російської науки.

За Ейлером, під втратою стійкості розуміють процес переходу від початкової прямолінійної форми рівноваги між навантаженням і внутрішніми силами до нової зігнутої форми рівноваги.  При цьому припускається, що при збільшенні стискаючого статичного навантаження наступає такий стан пружної системи (байдужа форма рівноваги), коли в той самий час можуть існувати і вихідна і суміжна з нею форма рівноваги. Такий стан пружної системи характеризується роздвоєнням форм рівноваги (біфуркацією).

Критичною силою за Ейлером вважається максимальна стискаюча сила, при якій наступає роздвоєння форм рівноваги пружної системи. Якщо навантаження перевищує критичну силу, то відбувається перехід до нової, зігнутої форми рівноваги (втрата стійкості). Процес втрати стійкості супроводжується розвитком досить великих переміщень пружної системи за короткий час. Лінійна залежність між прирощенням навантаження і переміщенням, що виникає – відсутня. В інженерних конструкція втрата стійкості унеможливлює їх подальшу експлуатацію.

Розглянемо прямолінійний стержень, що знаходиться під дією центрально-прикладеної стискаючої сили F, лінія дії якої співпадає з віссю стержня (рис. 3.24, а). Враховуючи умови закріплення можна прийняти схему стержня з шарнірно-закріпленими кінцями (рис. 3.24, б).

Якщо стержень стиснути силою F, то із зростанням цієї сили стержень спочатку тільки вкорочується, зберігаючи свою прямолінійну форму, а потім настає явище втрати стійкості – стержень викривляється (рис. 3.24, в).

Отже можна знайти таке значення стискаючої сили Fкр, при якому прямолінійна форма рівноваги стає нестійкою.

рис 3.24.PNG

Якщо F < Fкр, то прямолінійна форма рівноваги стержня стійка. При F > Fкр, прямолінійна форма рівноваги нестійка. Зміна стійкої форми рівноваги відбувається при F = Fкр.

Відповідно до теорії Ейлера критична сила Fкр для окремого центрально-стиснутого стержня визначається за формулою:

(3.36).PNG

де Е – модуль пружності І-го роду, МПа;

J min.PNG– мінімальній момент інерції перерізу, мм4;

l – довжина стержня, мм.

Якщо умови закріплення стержня однакові у всіх поздовжніх площинах, то втрата стійкості відбувається в площині найменшого опору. А це означає, що  у формулі (3.37) використовується найменша величина осьового момента інерції J min.PNG. Наприклад, стержень прямокутного перерізу (рис. 3.23, а) втрачає стійкість  (згинається) в площині ОХZ. У цьому випадку значення мінімального момента інерції, при  h>b , визначиться так:

(3.37).PNG

Пізніше, досліджуючи питання втрати стійкості формула Ейлера (3.37) була удосконалена Феліксом Ясинським (ХІХ сторіччя), російським ученим-механіком і інженером, фахівцем у галузі будівельної механіки, професором Петербурзького інституту інженерів шляхів сполучення. Ним було досліджено стійкість за границею пропорційності і встановлена залежність гнучкості стержня від способів закріплення його кінців. На сьогодні формула Ейлера має вигляд:

(3.38).PNG

де μ – коефіцієнт приведеної довжини, який для стержня на шарових опорах (рис. 3.24, б) дорівнює μ = 1;

μ·l – приведена (розрахункова) довжина стержня.

Значення коефіцієнта приведеної довжини µ залежить від умов закріплення стержня і визначається як:

(3.39).PNG

де n – число, що показує кількість довжин півхвиль синусоїди, яка відповідає формі втрати рівноваги стержня (формі зігнутої осі стержня). Для стержня на рисунку 3.24, б: n = 1, а отже .

Фелікс Ясинський також ввів поняття критичних напружень σкр та критичної гнучкості, або граничної гнучкості λгр.

Отримавши значення критичної сили за формулою Ейлера, можемо визначити критичне напруження, що виникає в момент втрати стійкості:

(3.40).PNG

де i2 min.PNG – мінімальний осьовий радіус інерції стержня, мм2:

i2 min=.PNG

      де А – площа поперечного перерізу стержня, мм2.

lambda gr.PNG – гнучкість стержня.

Із формули 3.40 легко знайти граничну гнучкість. Її значення залежить від властивостей матеріалу і характеристик міцності – границі пропорційності sigmapc.PNG:

(3.41).PNG

Деякі значення граничної гнучкості:

·     для звичайної конструкційної сталі – λгр>100, 

·     для чавуну – λгр>80,

·     для дюралюміну – λгр>76,

·     для сосни – λгр>110.

Розрахункову гнучкість стержня λ можна визначити по формулі:

(3.42).PNG

де i min.PNG – мінімальний радіус інерції перерізу стержня, мм:

i min=.PNG

Експериментальна установка. Для проведення досліджень використовуємо лабораторну установку для визначення критичної сили, загальний вигляд якої зображено на рисунку 3.25 (а). Дослідний стержень 1 встановлюємо на шарнірні опори 2 і 3. При чому опора 2 – рухома, а опора 3 – нерухома. По середині зразка, де у наслідок прикладення сили буде максимальний прогин,  встановлюємо індикатори годинникового типу 7 і 8. При проведенні дослідження стискання стержня здійснюється за допомогою навантажувального пристрою через еластичну пружину 4. Обертаючи маховик черв’ячного редуктора 6, повільно навантажуємо балку. Кожні 10 обертів маховика відповідають навантаженню у 22 Н.

рис 3.25.PNG

В процесі навантаження необхідно слідкувати за індикаторами доки не відбудеться втрата стійкості (стрілка індикатора почне дуже швидко обертатися).

 

Оснащення робочого місця

v установка, підготовлена  до проведення експерименту;

v 2 індикатори годинникового типу;

v стальний призматичний зразок прямокутного перерізу (матеріал – сталь 65Г-Ш ГОСТ 1050-88);

v методичні вказівки до виконання лабораторної роботи;

v калькулятор, олівець, лінійка;

v журнал лабораторних робіт.

Порядок виконання роботи

 

Для експериментального визначення критичної сили використовують стальну балку прямокутного перерізу довжиною ℓ = 500мм, яка встановлена вертикально на двох шарнірних опорах (рис. 3.25).

Балка має наступні дані:

-      ширина перерізу b = 2 мм;

-      висота перерізу h = 35 мм;

-      матеріал балки - 65Г-Ш ГОСТ 1050-88;

-      модуль пружності матеріалу Е = 2·105 МПа.

Лабораторна робота проводиться у такій послідовності:

1.       Перевірити готовність установки до експерименту, виставити індикатори на нульову відмітку.

2.       Визначити геометричні характеристики перерізу – момент інерції відносно осі Y (рис. 3.24) за формулою 3.38.

3.       Визначити гнучкість стержня та граничну гнучкість за формулами (3.42) та (3.43) і порівняти їх значення між собою.

4.       Визначити значення критичної сили за формулою Ейлера (3.39).

5.       Провести експеримент: ступенево навантажити балку, кожного разу на 22Н, ретельно слідкуючи за показниками індикаторів.

6.       Записати показання індикаторів на кожному етапі навантаження в журнал спостережень до того моменту, поки не відбудеться втрата стійкості (табл. 3.7).

7.       За отриманими даними будуємо діаграму прогинів у координатах F-f. Провівши дотичну до отриманого графіка проеціюємо її на вертикальну вісь і визначаємо значення критичної сили Fкр (рис. 3.26).

 

 

Таблиця 3.7 – Результати експериментальних спостережень.

№

Навантаження F, Н

Значення абсолютного поперечного прогину f, мм

1

22

 

2

44

 

3

66

 

4

88

 

5

110

 

6

132

 

7

154

 

8

176

 

9

198

 

10

220

 

11

242

 

 рис 3.26.PNG

8.       Порівняти отримані результати, визначаючи розбіжність:

вудеф а=.PNG

9.       Зробити висновки та відповісти на контрольні запитання.

10. Захистити лабораторну роботу у викладача.

Тестові запитання для самоконтролю

1.   Які зразки використовують при випробуванні матеріалів на стійкість?

прямокутного перерізу;

круглого перерізу;

трубчастого перерізу;

квадратного перерізу.

2.   Відхилення стержня від свого положення рівноваги називається:

втратою стійкості;

згином;

крученням;

стиском.

3.   Найменша центрально-прикладена стискаюча сила, що виводить стержень з прямолінійної рівноваги називається:

критичною силою;

зовнішньою силою;

поперечною силою;

внутрішньою силою.

4.   Як позначається критична сила?

Fкр;

Q;

σкр;

lкр.

5.   Які геометричні характеристики використовують при розрахунку стержнів на стійкість:

площа перерізу А та момент інерції Jmin.;

момент опору Wн.л.  та площа перерізу А;

момент опору Wн.л.  та момент інерції Jн.л.;

статичний момент площі перерізу S та полярний момент опору Wp

 

6.   Прямолінійна форма рівноваги гнучкого стержня буде стійкою, якщо:

сила, що стискає F менше критичної Fкр (F < Fкр);

сила, що стискає F більше критичної Fкр   (F > Fкр)

сила, що стискає F дорівнює критичній Fкр  (F = Fкр)

сила, що стискає F дорівнює внутрішній силі N  (F = N).

7.   За формулою  Ейлера і Ясинського розраховують  силу:

критичну;

допустиму;

внутрішню;

розрахункову.   

8.   Здатність стержнів, під дією поперечного навантаження, відхилятись від свого рівноважного положення, а при знятті навантаження приймати свою первісну форму рівноваги називається:

 гнучкістю;

 згином;

 крученням;

 стиском.

9.       Як позначається гнучкість стержня?

 l;

 F;

 τ;

 σ.

10.   Як позначають критичні напруження при стиску?

 σкр;

 τкр;

 Fкр;

 lкр.

11.   Для заданого матеріалу критичні напруження, що виникають у момент втрати стійкості можна визначити за формулою:

pit 11(3.6).PNG

12.   Як позначається коефіцієнт , що залежить від способів закріплення кінців стержня?

 m ;

 l ;

 φ;    

 ℓ.

13.   В яких одиницях вимірюється гнучкість стержня ?

безрозмірна величина;

Н;

м;

МПа.

14.   Що означає величина іmin :

мінімальний радіус інерції;

мінімальний момент інерції;

мінімальний статичний момент перерізу;

мінімальний момент опору.

15.   Граничну гнучкість стержня можна визначити за формулою:

pit 15(3.6).PNG

16.   Як записати формулу Ейлера для розрахунку критичної сили?

pit 16(3.6).PNG

17.   Діапазон застосування формули Ейлера:

λгр ≥ 100;

λгр > 100;

λгр = 100;

λгр < 100.

 

18.   Як визначити розрахункову гнучкість стержня?

pit 18(3.6).PNG

19.   За допомогою якого приладу експериментально визначають значення відхилень стержня від положення рівноваги?

індикаторами годинникового типу;

вимірювачем деформацій;

за допомогою тарирувального графіка;

лінійкою.

20.   Який спосіб закріплення кінців стержня використовують під час  експериментального  визначення критичної сили?

коли коефіцієнт приведеної довжини стержня m = 1;

коли коефіцієнт приведеної довжини стержня m = 2;

коли коефіцієнт приведеної довжини стержня m = 0,7;

коли коефіцієнт приведеної довжини стержня m = 0,5.

21.            За допомогою чого визначають значення критичної сили експериментальним шляхом?

за допомогою діаграми прогинів;

за допомогою діаграми розтягу;

за допомогою тарирувального графіка;

за допомогою діаграми напружень.

22.   В яких координатах будують діаграму прогинів?

F– f;

 

F–Δℓ;

М–φ;

σ–ε. 

23.   Яка фізична суть критичної сили?

максимальна сила, при якій стержень втрачає стійкість;

максимальна сила, при якій стержень здобуває стійкість;

мінімальна сила взаємодії між частками;

мінімальна сила тиску.

24.   Якій величині дорівнює гранична гнучкість для сталі?

λгр ≈ 100;

λгр ≈ 80;

λгр ≈ 110;

λгр ≈ 76.

25.   Що іноді називають поздовжнім згином?

втрату стійкості;

згин;

кручення;

стиск.