3.2. Загальні відомості про метод статистичного моделювання

unnamed.pngМетод статистичного моделювання, відомий під назвою "метод Монте-Карло", — це числовий метод розв'язування математичних задач за допомогою моделювання випадкових величин.

Датою народження  методу Монте-Карло вважають 1949 р., коли з'явилася стаття під назвою "Тhe Monte-Carlo method". Автори цього методу — американські математики Дж. Нейман і С. Улам, хоча теоретична основа цього методу була відома давно. Навіть деякі задачі статистики іноді розраховували за допомогою випадкових вибірок, тобто фактично методом Монте-Карло. Назва методу походить від аналогічної  назви міста у князівстві Монако, що знамените своїм ігровим домом. Суть у тому, що одним з найпростіших приладів для одержання випадкових величин є рулетка. Мабуть, варто відповісти на природне запитання: "Чи допомагає метод Монте-Карло  вигравати в рулетку?". Ні, не допомагає, і навіть цим не займається.

Для кращого розуміння методу розглянемо такий приклад. Нехай нам треба визначити площу плоскої фігури £. Це може бути будь-яка фігура, обмежена криволінійними чи прямолінійними контурами (рис. 3.2.1).

Розмістимо цю фігуру в квадрат зі сторонами І,  у системі координат.

1.jpg

Оберемо у середині квадрата ІУ випадкових точок. Позначимо через ІУГчисло точок, що потрапили в середину фігури 5. Геометрично очевидно, що площа 8 наближено дорівнює відношенню N '/АГ. Чим більше АГ, тим більша точність цієї оцінки. У прикладі, що зображений на рис. 4.3, обрали 40 випадкових точок. З них 12 точок виявилися в середині фігури &. Отже, відношення ІУ'/ІУ буде 12/40 = 0,3, а фактична площа фігури 5 = 0,35.

Перша особливість цього методу — простота алгоритму. Як  правило, складають програму для одного випробування (у нашому прикладі треба  обрати  випадкову точку в квадраті й перевірити чи належить вона фігурі 5). Потім цей дослід повторюють N разів, при цьому  кожен дослід  не залежить від інших. За результатами дослідів визначають середні величини, тому цей метод одержав іншу назву — "метод статистичних випробувань"'.

Друга особливість цього методу — похибка обчислень, як правило, пропорційна ^.О/ІУ, де і) — деяка стала, N — число випробувань. Звідси видно, що для того, щоб зменшити похибку у 10 разів (інакше кажучи, щоб отримати у відповіді ще один вірний десятковий знак), треба збільшити ІУ у 100 разів. Звичайно, домогтися високої точності таким шляхом неможливо.

Тому вважають, що метод Монте-Карло особливо ефективний для задач, де результат може бути невисокої точності (5... 10 %).

unnamed.png