1. Загальні відомості

У попередніх розділах розглядалися лінії і електричні кола (рисунок 17.7) з зосередженими параметрами, тобто передбачалося, що електричне коло представляє собою сукупність деяких самостійно існуючих елементів r, L і С, зосереджених в різних його точках. Напруга і струми цих елементів зв'язуються відомими співвідношенням:

Рис. 17.1. Схема заміщення ЛЕП с зосередженими параметрами

В лінії невеликої довжини, при частоті 50 Гц і напругах до 35 кВ можна знехтувати струмами, зумовленими ємністю між проводами (струмами зміщення) і провідністю ізоляції (струмами витоку через гірлянди ізоляторів і струмами, зумовленими коронним електричним зарядом поблизу поверхні проводів). Вони застосовуються лише до ділянок нескінченно малої довжини.

Наведені вище рівняння засновані на припущенні, що струм, що входить в кожен з цих елементів, дорівнює струму, який виходить з нього. Вирішення цих рівнянь дає закон зміни досліджуваної електричної величини, в залежності від часу, але не від координати довжини, яка в ці рівняння не входить. При великих напругах, що зустрічаються в електроенергетиці, і при великих частотах з якими має справу електрозв'язок, а також при значній довжині ліній нехтувати струмами зміщення і струмами витоку неприпустимо. Отже, струм в проводах не однаковий у різних точках лінії. Струм в проводах лінії викликає падіння напруга в активному опорі проводів і створює змінне магнітне поле, яке в свою чергу наводить уздовж всієї лінії ЕРС самоіндукції. Тому напруга між проводами також не залишається постійним уздовж лінії.

Щоб врахувати зміну струму і напруги вздовж лінії, потрібно вважати, що кожен як завгодно малий елемент лінії володіє опором і індуктивністю, а між провідниками - провідністю та ємністю, тобто розглядати лінію як коло з розподіленими параметрами. Таку лінію називають довгою. Довгу лінію вважають однорідною, якщо активний опір, індуктивність, провідність і ємність рівномірно розподіленими вздовж лінії.

2. Диференціальні рівняння однорідних ліній

Довгу лінію (рисунок 17.2) можна представити у вигляді безлічі сполучених в коло нескінченно малих елементів довжиною dx, кожен з яких має активний опір - r_оdx, індуктивність - L_оdx, провідність - g_оdx і ємність - C_оdx. Приймаються опір r_оdx і індуктивність L_оdx включеними в один провід. Складемо диференціальні рівняння, яким задовольняють струми і напруги в будь-якому перетині двопровідної лінії.

Рис. 17.2. Схема заміщення ЛЕП з розподіленими параметрами

Нехай відомі первинні параметри однорідної лінії, віднесення до одиниці довжини: r_о – активний опір прямого і зворотного проводів, Ом/км; L_о – індуктивність кола, що утворена прямим і зворотним проводами, Гн/км; g_о – активна провідність між прово-дами, См/км; C_о - ємність між проводами, Ф/км;

Позначимо через х відстань від початку лінії до поточного елемента її довжини. Напруга і струм лінії є функціями двох незалежних змінних: просторової координати х, що визначає місце спостереження, і часу t, що визначає момент спостереження. Передбачається, що напрямок координатної осі х збігається з напрямком осі лінії.

Зважаючи на наявність двох незалежних змінних (х і t) рівняння записуються в приватних похідних. Миттєві значення напруги і струму на початку вибраного елемента лінії dx позначимо через i і u, на початку наступного - через

На підставі законів Кірхгофа для елемента лінії довжиною dx можна записати наступні рівняння

Наводячи подібні члени і скорочуючи на dx, легко отримати наступні диференціальні рівняння - рівняння довгої лінії

Початковими умовами будуть значення напруги і струму на початку або кінці лінії в момент часу, прийнятий за нуль.

3. Сталий режим однорідної лінії

Розглянемо сталий режим у довгій лінії при синусоїдній напрузі джерела живлення.

Перепишемо рівняння (17.3) і (17.4) для сталого режиму, вводячи комплексні напруги, струми, опори і провідності:

де Z₀ = r0 + jωL0 – поздовжній комплексний опір; Ом;

Y₀ = g₀ + jωC₀ – поперечна комплексна провідність одиниці лінії, См; Y₀ ≠ 1/Z₀.

Після диференціювання рівнянь (17.5) і (17.6) отримаємо

Диференціальні рівняння (17.7) і (17.8), визначаючі зміни комплексних напруги і струму вздовж лінії, однакові. Тому достатньо знайти закон зміни напруги U, а струм можна отримати з рівняння (17.5). Рішення лінійного диференціального рівняння другого порядку (17.7) з постійними коефіцієнтами має вигляд:

де γ – корінь характеристичного рівняння або постійна поширення; A₁, A₂ - постійні інтегрування (комплексні числа); U - комплексна напруга в лінії на відстані х від її початку.

Вираз для комплексного струму визначаємо з рівняння (17.5)

Знаменник рівняння (11) називають хвильовим опором лінії

Знаменник рівняння (11) називають хвильовим опором лінії

де

Хвильовий опір лінії постійному струму

Підставляючи Z_С (17.12) в формулу (17.11), отримаємо

Таким чином, отримаємо:

Величини γ, α, β і Z_С називаються вторинними або хвильовими параметрами лінії.

Для визначення постійних інтегрування підставимо в (17.14) и (17.15) граничні значення U₁ і I₂ на початку лінії. Вирішуючи спільно ці рівняння, знайдемо постійні інтегрування

Підставимо значення постійних інтегрування (17.16), (17.17) у (17.14), (17.15) і після перетворення рівнянь отримаємо:

де U s I – комплексні діючі значення напруги і струму на відстані х від кінця лінії; ch, sh – гіперболічний косинус і синус відповідно; Z_c – хвильовий або характеристичний опір лінії; γ – коефіцієнт розповсюдження

де α – коефіцієнт загасання, Нп (Непер). В лінії без втрат α = 0; β – коефіцієнт фази, рад.

Користуючись цими рівняннями, можна отримати напруга і струм в будь-якій точці лінії по заданих параметрах лінії і відомим значенням U₁ і I₁ на початку лінії.

4. Хвилі в лінії при сталому режимі

Вирази миттєвих значень напруги та струму в будь-якій точці лінії

Перші доданки в правій частині отриманих виразів характеризують біжучі хвилі напруги і струму, що рухаються в напрямку зростання координати х і затухають у напрямку руху (рисунок 17.3).

Рис. 17.3. Графіки біжучих загасаючих хвиль напруги і струму

Величина α, характеризує зміна амплітуди хвилі на одиницю довжини лінії і називається коефіцієнтом загасання. Величина β рівна зміні фази на одиницю довжини лінії, називається коефіцієнтом фази

Другий доданок – відбита хвиля.

Якщо опір навантаження в кінці лінії дорівнює хвильовому (Z_н = Z_c) відбита хвиля відсутня, і в лінії встановлюється режим біжучої хвилі, яка подає енергію від джерела до навантаження. При цьому в лінії без втрат потужність джерела буде тільки активною і рівною потужності приймача. Такий режим роботи довгої лінії називають режимом узгодженого навантаження.

Якщо опір навантаження рівний 0; ∞ або носить тільки реактивний характер, в лінії виникає режим стоячої хвили. Передачі енергії від джерела до навантаження не відбувається.

Змішаний режим – коли в лінії є хвилі, що біжать, і стоячі хвилі. Цей режим виникає, коли навантаження носить комплексний характер. У змішаному режимі передається у навантаження мала частка енергії джерела живлення.

Хвилі, що поширюються вздовж лінії від джерела до приймача в напрямку збільшення координати х, називають прямими (падаючими), а хвилі, що поширюються в зворотному напрямку - зворотними (відбитими).

Характерною величиною біжучої хвилі є її довжина λ, яка визначається відстанню між найближчими двома точками, взятими в напрямку поширення хвилі, з фазами коливання, що відрізняються на 2π. Лінії, фізична довжина яких порівнянна з довжиною хвилі, вважаються довгими лініями.

Довжина хвилі в лінії

Фазова швидкість повітряної лінії близька до швидкості світла (близько 3·10⁸ м/с).

Кола з розподіленими параметрами мають явну залежність їх параметрів від частоти струму. Наприклад, звичайна котушка індуктивності на високій частоті (одиниці МГц) вже може розглядатися як лінія з розподіленими параметрами (рисунок 17.4).

Рис. 17.4 Схема заміщення котушки струмам високої частоти

При частоті струму рівній десяткам ГГц в цілому котушка буде оказувати проходженню струму ємнісний, а не індуктивний опір.

Розглянемо схему заміщення котушки, приведену на рисунку 17.4. З рисунку 17.4 видно, що окрім індуктивностей, в колі є між виткові ємності і ємності між витками і землею (загальним проводом). Якщо по котушці проходить змінний струм, то при зростанні частоти буде рости і індуктивний опір кожного повздовжньої ділянки dx (рис. 17.2) кола, в той час, як ємнісний опір поперечної ділянки буде зменшуватися. Таким чином, з збільшенням частоти змінного струму в повздовжньому напрямі розповсюдження хвилі буде зменшуватися, а у поперечному (ємнісному), навпаки – збільшуватися.

5. Лінія без спотворень

Передача сигналів без спотворень по лініях зв'язку має виключне значення. Неспотвореної передачею сигналу називається така передача, при якій форма сигналу на початку і кінці лінії однакова, тобто всі ординати кривої напруги або струму в кінці лінії прямо пропорційні відповідним ординатам кривої на початку лінії.

Таке явище має місця в тому випадку, коли коефіцієнт загасання лінії β, а також фазова швидкість υ на всіх частотах однакові.

Неоднакове загасання на різних частотах створює амплітудні спотворення, а неоднакова швидкість хвиль на різних частотах - фазові спотворення. Таким чином, для неспотвореної передачі потрібно, щоб коефіцієнт загасання β не залежав від частоти, коефіцієнт фази α був прямо пропорційний частоті. В цьому випадку фазова швидкість υ = ω / β виходить незалежною від частоти. Це дотримується при умові

В цьому випадку коефіцієнт поширення дорівнює:

Таким чином, лінія, параметри якої задовольняють умові (17.23) називається лінією без спотворень.

Хвильовий опір ліній без спотворень - дійсне число, що дорівнює активного опору, не залежному від частоти

Фазова швидкість в лінії без спотворень постійна

Для усунення спотворень, що викликаються неузгодженістю опорів навантаження (приймача) з опором лінії, опір навантаження повинен бути рівним хвильовому опору. Коефіцієнт корисної дії у цьому випадку має максимальне значення η_л = е^{–2α х}.

6. Контрольні питання

1. Чи змінюється величина струму від початку до кінця довгої лінії?
2. Чи змінюється величина напруги між проводами довгої лінії?
3. Якими параметрами володіє кожен як завгодно малий елемент довгої лінії?
4. Навіщо довгу лінію розглядають як лінію з розподіленими параметрами?
5. З яких струмів складається струм у довгій лінії?
6. Яку довгу лінію називають однорідною?
7. Складіть розрахункову схему однорідної лінії з розподіленими параметрами.
8. Як позначають відстань від початку лінії до поточного елемента її довжини?
9. Як позначаються миттєві значення напруги і струму на початку вибраного елемента dx довгої лінії?
10. Як позначається миттєве значення напруги на початку наступного елементу довгої лінії?
11. Як позначається миттєве значення струму на початку наступного елементу довгої лінії?.
12. Що розуміється під первинним параметром однорідної лінії r_оdx?
13. Якою одиницею вимірюється r_оdx?
14. Що розуміється під первинним параметром однорідної лінії L_оdx?
15. Якою одиницею вимірюється L_о?
16. Що розуміється під первинним параметром однорідної лінії g_оdx?
17. Якою одиницею вимірюється g_оdx
18. Що розуміється під первинним параметром однорідної лінії C_оdx?
19. Якою одиницею вимірюється C_оdx?
20. Навести рівняння для елементу однорідної лінії dx на основі закону Ома і першого закону Кірхгофа.
21. Складіть розрахункову схему однорідної довгої лінії.
22. Як визначити поздовжній комплексний опір однорідної лінії Z₀?
23. Як визначити поперечну комплексну провідність Y₀?
24. Навести диференційне рівняння зміни комплексу напруги вздовж довгої лінії.
25. Навести диференційне рівняння зміни комплексу струму вздовж довгої лінії.
26. Яке рівняння хвильового опору довгої лінії синусоїдному струму?
27. Чому дорівнює хвильовий опір для ліній синусоїдного струму без втрат (r = g = 0)?
28. Чому дорівнює хвильовий опір для ліній синусоїдного струму з малими втратами ?
29. Як визначити коефіцієнт розповсюдження?
30. Який вираз миттєвого значення напруги у сталому режимі лінії?
31. Який вираз миттєвого значення струму у сталому режимі?
32. Які хвилі називають прямими (падаючими)?
33. Які хвилі називають зворотними (відбитими)?
34. Що характеризує коефіцієнт загасання і коефіцієнтом фази?
35. Яку передачу сигналу називають неспотвореною?
36. Що утворює амплітудні спотворення сигналу?
37. Що утворює фазові спотворення сигналу?
38. Яка умова неспотвореної передачі сигналу вздовж лінії?
39. Чому дорівнює хвильовий опір лінії без спотворень?
40. Як визначити коефіцієнт загасання у лінії без спотворень сигналу?
41. Як визначити коефіцієнт форми у лінії без спотворень сигналу?

НАГОРУ